مفتاح الحساب/المقالة الخامسة/الباب الثالث

الباب الثالث
في إيراد بعض قواعد الحسابية يكون الإحتياج به في استخراج المجهولات كثيرا وهو خمسون قاعدة

القاعدة الأولى إذا أردنا أن نضرب جذر عدد في جذر عدد آخر أو جذر جنس في جذر جنس آخر ولم يعرف ذلك الجذر لتعذر أو لاستحالة فنضرب أحد ذينك العددين أو الجنسين في الآخر ونأخذ جذر الحاصل فهو المطلوب.

مثاله أردنا أن نضرب جذر تسعة في جذر خمسة وعشرين ضربنا التسعة في الخمسة والعشرين حصل مائتان وخمسة وعشرون وأخذنا جذره فكان خمسة عشر فهو المطلوب.

وكذا يكون جذر تسعة أموال في جذر خمسة وعشرين مالا خمسة عشر كعبًا

مثال آخر أردنا ضرب جذر اثنين في جذر ثمانية ضربنا الاثنين في الثمانية حصلت ستة عشر أخذنا جذره مكان أربعة وهو المطلوب.

وكذا يكون ضرب جذر كعبين في جذر ثمانية أموال كعب ضربنا أحد المجذورين في الآخر حصلت عشر مال كعب كعب أخذنا جذره فكانت أربعة أموال مال.

وكذا الحكم في ضرب ضلع أول كل مضلّع في ضلع أول ذلك المضلّع أيضًا لجنسين متفقين أو مختلفين ككعب جنس في كعب جنس آخر أو ذلك الجنس أو ضلع مال مال جنس في ضلع مال مال جنس آخر أو ذلك الجنس

مثاله أردنا أن نضرب كعب ثلاثة أعداد في كعب تسعة كعاب ضربنا ثلاثة أعداد في تسعة كعاب حصلت سبعة وعشرون كعبًا أخذنا كعبه فكان ثلاثة أشياء فهو المطلوب.

وأمّا إن أردنا أن نضرب ضلع أول مضلّع من جنس في ضلع أول مضلع من ذلك الجنس أو من جنس آخر على أن المضلعّين يكونان مختلفين كجذر مثلا في كعب أو جذر في مال مال فيرتقي أحد الجنسين أو كليهما بأن نضرب أحد الجنسين في نفسه ثم في الحاصل ثم في الحاصل الأوّل او الثاني وكذا نعمل بالآخر إلى أن يصيرا مضلعين متفقين فنضرب أحدهما في الآخر ونأخذ ضلع أول الحاصل على أنه ذلك المضلع المتفق فهو المطلوب.

مثاله أردنا أن نضرب جذر تسعة في كعب ثمانية ضربنا التسعة في نفسه حصل أحد وثمانون فيكون الجذر المذكور ضلع مال ماله ثم ضربنا التسعة فيه حصل سبعمائة وتسعة وعشرون فيكون الجذر المذكور ضلع كعب كعبه ثم ضربنا الثمانية المذكورة في نفسها حصلت أربعة وستون فيكون الكعب المذكور كعب كعبه فإذا بلغ كل واحد منهما إلى مضلع واحد وهو كعب كعب ضربنا أحدهما في الآخر اعنى أربعة وستين في سبعمائة وتسعة وعشرين حصل 46,656 أخذنا ضلع أوله على أنع كعب كعب فكان ستة وهي المطلوب.

وإذا أردنا أن ضرب جذر تسعة أموال مال في كعب ثمانية من العدد ضربنا تسعة أموال مال في نفسه حصل أحد وثمانون مال كعب كعب ثم ضربنا تسعة أموال المال المذكور حصل سبعمائة وتسعة وعشرون كعب كعب كعب كعب فيكون الجذر المذكور ضلعه الأول على أنه كعب كعب ولو أن ذلك الجنس كعب مكرر أربع مرات ثم ضربنا الثمانية المذكورة من العدد في نفسها حصلت أربعة وستون عددا فيكون الكعب المذكور ضلع أوله على أنه كعب كعب وضربناه في كعب كعب تسعة أموال المال وهو سبعمائة وتسعة وعشرون كعبا مكررا أربع مرات حصل 46,654 كعبًا مكررا أربع مرات أخذنا ضلعه الأوّل على أنه كعب كعب كانت ستة أموال وهو المطلوب.

وكذا يكون الحكم في القسمة اعنى إذا أردنا أن نقسم جذر عدد أو جنس على جذر عدد أو جنس آخر نقسم مجذور المقسوم عليه ونأخذ جذر خارج القسمة فهو المطلوب.

القاعدة الثانية إذا أردنا أن نستخرج جذر أجناس المجهولات بالتعين على الطريق الذي مرّ فإن الجذر هناك كان مجهولا أيضًا فالطريق فيه أن نطلب مجذورًا أما إذا قوبل بالجنس المطلوب جذره أو بالأجناس المطلوب جذرها انتهى العمل إلى معادلة جنس آخر يليه كعدد لشيء أو شيء لمال أو مال لكعب أو جزء مال لجزء شيء ثم نقسم عدد الجنس الأدنى على عدد الجنس الأعلى فما يخرج فهو مقدار شيء واحد نحسب منه مقدار الأجناس المطلوب جذرها بأن نأخذ لمال واحد مربّع مقدار ذلك الشيء أي مربع خارج القسمة ولمكعب واحد مكعبه ولمال مال ماله وعليه القياس ثم نضرب عدد كل جنس من الأجناس المطلوب جذرها في مقدار ذلك الجنس ونجمع الحواصل ونزيد العدد عليه إن كان مع الأجناس المطلوب جذرها ونأخذ المجموع فهو المطلوب.

مثاله أردنا جذر ثلاثة كعاب قابلناه بمجذور ثلاثة أشياء وهو تسعة اموال ليكون المقابلة على الشرط المذكور فقسمنا عدد الجنس الأدنى وهو تسعة على عدد جنس الأعلى وهو الثلاثة خرج من القسمة ثلاثة وهي مقدار شيء واحد يكون ماله تسعة وكعبه سبعة وعشرين وثلاثة كعابه أحدا وثمانين أخذنا جذره فكان تسعة وهي جذر ثلاثة كعاب.

مثال آخر أردنا جذر ستة أشياء وستة أموال قابلناها بمجذور ثلاثة أشياء وهو تسعة أموال وبعد حذف ستة الأموال المشتركة صارت ستة أشياء معادلة لثلاثة أموال قسمنا الستة على الثلاثة خرج من القسمة اثنان وهو مقدار شيء واحد من الأجناس المطلوب جذرها اعنى ستة أشياء وستة أموال فأخذنا ستة أمثال الاثنين لستة أشياء حصل اثنى عشر وستة أمثال مربع الاثنين ليتة أموال حصلت أربعة وعشرون ومجموعها ستة وثلاثون وهو مقدار ستة أشياء وستة أموال على أن شيئا واحد اثنان أخذنا جذره فكانت ستة أشياء وستة أموال.

مثال آخر أردنا جذر ستة عشر عددا وعشرين شيئا وثلاثة وأربعة أموال وبعد حذف المشتركة وهي ستة عشر عددا وثلاثة أموال آلت إلى معادلة الأربعة وهي مقدار شيء واحد فيكون أمثاله ثمانون وثلاثة أمواله ثمانية وأربعين وهما مع ستة عشر عددا مائة وأربعة وأربعون عددًا وهو مقدار ستة عشر عددا وعشرون شيئا وثلاثة أموال الذي أردنا جذره فأخذنا جذره فكان اثنا عشر وهو الجذر المطلوب على أن شيئا واحدا أربعة ولا يجب أن يكون جذر ذلك الأجناس ما حصل بعينه بل يمكن أن يوجد لها جذور غير متناهية، مثلاً لو قابلنا الأجناس المذكورة وهي ستة عشر عددا وعشرون شيئا وثلاثة أموال بمجذور شيئين إلا أربعة أعداد وهو أربعة أموال وستة عشر عدد إلا ستة عشر شيئا وبعد الجبر والمقابلة صارت ستة وثلاثون شيئا معادلا لمال واحد قسمنا عدد الأشياء على عدد الأموال خرجت من القسمة ستة وثلاثون بعينه لا غير لإن المقسوم عليه واحد وهو مقدار شيء واحد فيكون عشرون يكون ثلاثة أموال 3,888 وهما مع ستة عشر يكون 4,624 أخذنا جذره فكانت ثمانية وستون وهو جذر الأجناس المذكورة على أن شيئا واحد ستة وثلاثون.

واعلم أن استخراج الجذر بهذا الطريق يحتاج إلى الاستقراء ويمكن استخراجه أيضًا بأن نطلب عددا بالإستقراء إذا فرضنا مقدار شيء واحد وحسبنا به مقدار الأجناس المطلوب جذرها كان مجذورا وربما كان هذا الطريق في بعض المواد أسهل من الأول.

القاعدة الثالثة إذا أردنا أن نجمع الأعداد المتوالية من الواحد إلى أي عدد شئنا بالنظام الطبيعي نزيد الواحد على العدد الأخير ونضرب المجموع في نصف العدد الأخير أو نضرب العدد الأخير في نصف ذلك المجموع.

مثاله أردنا أن نجمع من الواحد إلى العشرة زدنا الواحد على العشرة بلغ أحد عشر ضربناه في نصف العشرة حصلت خمسة وخمسون وإن أردنا أن نجمع من غير الواحد إلى أي عدد شئنا نجمع الطرفين اعنى أقل تلك الأعداد وأكثرها ونضرب المجموع في نصف تلك الأعداد مثاله أردنا أن نجمع من ثلاثة إلى عشرة جمعناهما بلغ ثلاثة عشر ضربناها في نصف عدد تلك الأعداد وهو أربعة حصل اثنان وخمسون وهو المطلوب.

القاعدة الرابعة إذا أردنا جمع الأفراد المتوالية دون الأزواج نزيد على الفرد الأخير واحد أو نضرب نصف المجموع وهو تلك الأفراد في نفسه يحصل المطلوب.

مثاله أردنا أن نجمع الأفراد المتوالية من الواحد إلى التسعة زدنا عليهما واحد أبلغت عشرة حصلنا مربع نصفها كان خمسة وعشرين وهو المطلوب.

القاعدة الخامسة إذا أردنا جمع الأزواج المتوالية دون الأفراد نضرب نصف زوج الأخير وهو عدد تلك الأزواج فيما يليه أي فيما يزيد عليه بواحد يحصل المطلوب.

مثاله أردنا أن نجمع الأزواج المتوالية من الاثنين إلى العشرة ضربنا الخمسة في ستة حصل ثلاثون فهو المراد

القاعدة السادسة إذا أردنا جمع الأزواج الأفراد المتوالية نضرب عددها في نفسه ونضعف الحاصل فهو المطلوب.

مثاله إردنا أن نجمع عشرة أعداد هي أزواج الأفراد المتوالية على أن أولها اثنان فربعنا العشر صارت مائة ضعفناها صارت مائتان وهو المطلوب ومن لم يعد الاثنين من أزواج الأفراد وجعل زوج الفرد الأول ستة فنزيد على عددها واحد أو نعمل ما ذكرنا ثن ننقص من الحاصل اثنين بقي مطلوبه وأمّا جمع أزواج الأزواج سنذكره في القاعدة التاسعة.

القاعدة السابعة إذا أردنا جمع الأعداد المتزايدة من الواحد وغيرها بتفاضلات متساويات وهذه القاعدة مما استنبطناه ننقص من عددها واحدا أبدا فما فقي نضربه في مقدار ما يتزايد به ونزيد على الحاصل العدد الأقل من تلك الأعداد سواء كان واحد أو أكثر فما بلغ فهو العدد الأكثر نزيد عليه العدد الأقل ثانيا ونضرب ما بلغ في نصف عدد تلك الأعداد فما حصل فهو المطلوب وهذه القاعدة شاملة للقاعدة الثالثة أيضًا.

مثال ذلك أردنا أن نجمع ستة أعداد متزايدة بثلاثة بثلاثة من الواحد وهي واحد أربعة سبعة عشرة ثلاثة عشر ستة عشر نقصنا من الستة التي هي عدتها واحدا بقيت خمسة ضربناها في الثلاثة التي يتزايد بها تلك الأعداد حصلت تسعة زدنا عليها السبعة التي هي أقل تلك الأعداد بلغت ستة عشر وهو أكثر تلك الأعداد زدنا عليه العدد الأقل ثانيا بلغ ثلاثة وعشرين ضربناه في الاثنين الذين هما نصف عددها حصلت ستة وأربعون وهو المطلوب.

القاعدة الثامنة إذا أردنا جمع الأعداد المتزايدة من الواحد وتفاضلاتها المتوالية متزايدة أمّا بواحده واحدة أو اثنين اثنين أو ثلاثة ثلاثة وعلى ذلك القياس.

أمّا ما كانت تفاضلاتها متزايدة بواحدة واحدة فكالواحد والثلاثة والستة والعشرة والخمسة عشر ما كانت تفاضلاتها متزايدة باثنين اثنين وهو المربعات المتوالية كالواحد والأربعة والتسعة والستة عشرة وما كانت تفاضلاتها متزايدة بثلاثة ثلاثة كالواحد والخمسة والاثني عشر ولاثنين والعشرين والخمسة والثلاثين وعليه القياس والعمل في جميع تلك الأنواع أن ننقص من عددها واحدا دائما ونضرب الباقي في مقدار ما تزايد به التفاضلات ونأخذ ثلث الحاصل دائمًا ونزيد عليه واحدا فما بلغ نضربه في جميع تلك الأعداد بالنظم الطبيعي فالحاصل هو المطلوب.

مثاله أردنا أن نجمع عشرة أعداد متزايدة بثلاثة ثلاثة أولها واحد نقصنا من العشرة واحدا بقيت تسعة ضربناها في الثلاثة التي تزايد بها التفاضلات حصلت سبعة وعشرون أخذنا ثلثه فكان تسعة نزيد عليها واحدا بلغت عشرة ضربناها في خمسة وخمسين الذي هو مجموع الأعداد من الواحد إلى العشرة بالنظم الطبيعي حصل خمسمائة وخمسون وهو المطلوب.

القاعدة التاسعة إذا أردنا أن نجمع الأعداد الحاصلة من تضاعيف الواحد وغيره وهذه أيضًا مما استنبطناه وطريقة إذا كان العدد الأخير معلوما أن ننقص من ضعفه واحد فالباقي هو مجموع تلك الأعداد وإن لم يكن العدد الأخير معلومًا ننظر إلى عدد مرات التضعيف هو عدد منزلة أي مضلع فيحصل ذلك المضلع على أن ضلعه الأول اثنان وطريق تحصيله أن ننظر إلى عدد تلك المرات أن كان قابلا للتنصيف إلى الواحد وغيره ننظر انه كم مرة تقبل التنصيف إلى الواحد أو نعرف أنه مضلع للاثنين وكم يكون عدد منزلة نربع الاثنين مرة بعد أخرى بعدة ذلك العدد أي نضرب الاثنين في نفسه ثم الحاصل في نفسه ثم الحاصل الثاني في نفسه هكذا بعدة ذلك العدد ليحصل العدد الأخير نضاعفه وننقص منه واحدا ابدا ليحصل مجموع تلك الأعداد ولو نزيد أولا واحد أعلى مرات التضعيف ويكون المجموع قابلا للتنصيف نعمل به ما عملنا يحصل عدد المجموع بزيادة واحد مثاله أردنا أن نضعف الواحد ثمانية مرات وهي قابلة للتنصيف إلى الواحد بثلاث مرات وكعب الاثنين وعدد منزلة الكعب أيضًا ثلاثة ربعنا الاثنين ثلاث مرات فكان المربع الأول أربعة ومربع الثاني ستة عشر والثالث مائتين وستة وخمسين وهو العدد الأخير ضعفناه صار 512 نقصنا منه واحدا صار 511 وهو المطلوب.

وإذا نقصنا منه واحدًا أخر بقي 510 وهو مجموع ثمانية أزواج متواليات وذلك ما وعدناه في القاعدة السادسة.

مثال آخر أردنا أن نضع واحد في بيت من بيوت الشطرنج والاثنين في بيت آخر والأربعة في بيت آخر وهكذا يتضاعف لسائر البيوت إلى أن يتم جميع البيوت فيكون عدد التضاعيف ثلاثة وستون ويصير بالتضعيف الأخير لجمع جميع الأعداد الموضوعة فيها أربعة وستين وهو قابل للتنصيف إلى الواحد ست مرات فربّعنا الاثنين سّت مرات هكذا.

المربع الأول	المربع الثاني	المربع الثالث	المربع الرابع	المربع الخامس				المربع السادس
4	16	256	65,536	296	967	294	4	616	551	709	73	744	446	18
أربعة	ستة عشر	مائتان وستة وخمسون	خمسة وستون ألف وخمسمائة وستة وثلاثون	ومائتان وستة وتسعون	وتسعمائة وسبعة وستون ألف	ومائتان وأربعة وتسعون ألف ألف	أربعة الآلف ألف ألف	وستمائة وستة عشر	وخمسمائة واحد وخمسون ألفًا	وسبعمائة وتسعة الآف ألف	وثلاثة وسبعون ألف ألف ألف	وسبعمائة وأربعة وأربعون ألف مكررًا أربع مرات	أربعمائة وستة وأربعون ألف مكررًا خمس مرات	ثمانية عشر ألف مكرر ست مرات
تضعيف الثاني وهو موضوع في البيت الثالث وهو مال للاثنين	تضعيف الرابع وهو موضوع في البيت الخامس وهو مال مال للاثنين	تضعيف الثامن وهو موضوع في البيت التاسع وهو مال كعب كعب للاثنين	تضعيف السادس عشر وهو موضوع في البيت السابع عشر وهو مال كعب كعب كعب كعب للاثنين	تضعيف الثاني والثلاثين موضوع في البيت الثالث والثلاثين وهو مال كعب مكرر عشرة مرات للاثنين				تضعيف الرابع والستين وهو مجموع الأعداد الموضوعة في جميع البيوت بزيادة واحد وهو مال مال كعب مكرر عشرين مرة للاثنين

ثم نصفنا المربع السادس صار 9,323,372,036,854,775,808 وهو العدد الموضوع في البيت الأخير من بيوت الشطرنج وأمّا إن لم يكن عدد مرات التضعيف قابلا للتنصيف إلى الواحد ثم من الباقي وهكذا إلى أن لا يبقى شيء أو بقي واحد فينقسم إلى تلك الأعداد مثلا إذا كان عشرة نجعلها بقسمين هما ثمانية واثنان كل منهما قابلا للتنصيف إلى الواحد وإن كان مائة نجعلها ثلاثة أقسام كما قلنا وهي أربعة وستون واثنان وثلاثون وأربعة ثم ننظر إلى كل واحد منها كم مرة تقبل التنصيف إلى الواحد فنضع هذه الأعداد في جدول ونسميها بأقسام العدد ونضع بإزاء كل واحد منها عدد مرات تنصيفه في جدول آخر ونسميها بأعداد المرات وإن كان أحد من عدة أقسام العدد واحد فنضع بإزائه في جدول أعدا المرات صفرا ثم نربع الاثنين مّرة بعد أخرى بعدة أكثر عدد المرات ثم نضع المربع الأخير بإزاء العدد الأكثر في الجدول وكذا نضع بإزاء كل عدد من أعداد المرات من المربعات ما هو بعدة ذلك العدد ليكون بإزاء كل عدد مربع حصل بتربيع الاثنين مّرة بعد أخرى بعدة ذلك العدد وإن كان في جدول المرات صفر نضع بإزائه الاثنين بغير تربيع ثم نضرب المربعات الموضوعة في الجدول بإزاء أعداد المرات بعضها في بعض فالحاصل الأخير هو العدد الأخير ونضعفه وننقص منه واحد ليحصل المطلوب.

مثاله أردنا أن نجمع تضاعيف الواحد أحد عشر مرة وهي مع الواحد اثنا عشر عددا ثم أخذنا من أحد عشر أكثر عدد قابل للتنصيف إلى الواحد وهو ثمانية ثم اثنان وبقي واحد فالثمانية تقبل التنصيف ثلاث مرات والاثنان تقبل مرة وكان الجزء الثالث الواحد لا تقبل فليس له عدد مرات فحصل في جدول أعداد المرات ثلاثة واحد وصفر فربّعنا الاثنين ثلاث مرات للأول فكان المربّع الثالث 256 ومرة للثاني وكان أربعة وأخذنا نفس الاثنين للثالث وهو كما وضعناه في هذا الجدول

أقسام أحد عشر	أعداد المرتب	تربيع الاثنين بعدته	المربعات
ثمانية	ثلاث مرات يقبل التنصيف	وربعنا الاثنين ثلاث مرات فكان المربع الأخير	256
اثنان	مرة واحدة	مربع الاثنين مرة	4
واحد	صفر	نفس الاثنين	2

ثم ضربناه في الاثنين في الأربعة حصل 1,024 ضربناه في الاثنين حصل 2,048 وهو التنصيف الأخير ضعفياه ونقصنا منه واحد صار قالب:4,095 وهو المطلوب وأن أردنا تضاعيف عدد غير الواحد مرات معينة نحصل أولا تضاعيف الواحد بعدة تلك المراتب على ما سبق ثم نضرب العدد الأخير أو عدد المجموع أيهما أردنا في ذلك العدد أعنى العدد الذي نريد تضاعيفه ليحصل العدد الأخير أو عدد المجموع بحسب ذلك العدد.

مثاله أردنا أن نضعف الخمسة أحد عشر مرة وكان العدد الأخير على أن العدد الأول واحد 2,048 كما سبق ضربناه في الخمسة حصل 10,240 وهو العدد الأخير على أن العددالأول خمسة فيكون المجموع على أن الأول خمسة 20,475 وهو المطلوب.

القاعدة العاشرة إذا أردنا جمع حواصل ضروب وكل عدد من الأعداد المتوالية من الواحد فيما يليه أعنى أن نضرب الواحد في الاثنين والاثنين في الثلاثة والثلاثة في الأربعة وهكذا إلى ما أوردناه وطريقة أن ننقص من العدد الأخير واحدا ونأخذ ثلثي الباقي ونضربه في مجموع تلك الأعداد بالنظم الطبيعي.

مثاله أردنا أن نجمع حواصل ضروب كل واحد من الأعداد المتوالية من الواحد إلى الستة نقصنا من الستة واحدا وأخذنا ثلثي الباقي فكانت ثلاثة وثلثا ضربناه في مجموع تلك الأعداد وهو أحد وعشرون حصل سبعون وهو المطلوب.

القاعدة الحادية عشر إذا أردنا جمع حواصل ضروب كل عدد من الأعداد المتوالية من الواحد فيما يليه ثم حاصل فيما يليه نحذف العدد الأخير ونجمع الباقية ونضرب المجموع فيما نقص عنه بواحد يحصل المطلوب.

مثاله أردنا مجموع حواصل الضروب لكل عدد من الواحد إلى الستة فيما يليه ثم الحاصل فيما يليه جمعنا من الواحد إلى الخمسة كان خمسة عشر ضربناه في أربعة عشر حصل مائتان وعشرة وهو المطلوب.

القاعدة الثانية عشر إذا أردنا جمع مربعات الأعدا المتوالية من الواحد إلى كم شيئا نزيد واحدا على ضعيف العدد الأخير ونضرب ثُلث المجموع في مجموع تلك الأعداد

مثاله أن نجمع مربعات الأعداد المتوالية من الواحد إلى ستة زدنا على ضعفها واحدا بلغ ثلاثة عشر وكان ثلثه أربعة وثلثا ضربناه في مجموع تلك الأعداد وهو واحد وعشرون حصل أحد وتسعون.

القاعدة الثالثة عشر إذا أردنا أن نجمع مكعبات المتوالية من الواحد كم شئنا نضرب مجموع تلك الأعداد في نفسه يحصل المطلوب.

مثاله أردنا مجموع مكعبات الأعداد المتوالية من الواحج إلى ستة جمعنا تلك الأعداج فكان أحدا وعشرون ضربناه في نفسه حصل أربعمائة واحد وأربعون وهو المطلوب.

القاعدة الرابعة عشر إذا أردنا جمع أموال الأموال للأعداد المتوالية من الواحد ننقص من مجموع تلك الأعداد واحد ونأخذ ثلث الباقي دائما ونزيده يحصل المطلوب.

مثاله إردنا أن نجمع أموال المال للأعداد المتوالية من الواحد إلى ستة أخذنا مجموع تلك الأعداد فكان أحدا وعشرون نقصنا منه واحد بقي عشرون أخذنا خمسة فكان أربعة زدناها أحد وعشرون بلغت خمسة وعشرين ضربناها في أحد وتشعين الذي كان مجموع مربعات تلك الأعداد حصل ألفان ومائتان وخمسة وسبعون.

القاعدة الخامسة عشر إذا أردنا جمع المضلعات المتوالية لأي عدد كان مع الضلع الأول هذا أيضًا مما استنبطناه نضرب الضلع الأول في المضلع الأخير وننقص من الضلع الأول بواحد فما خرج فهو المطلوب

مثاله ننقص من الضلع الأخير واحدا دائما ونضرب الباقي في الضلع الأول ونقسم الحاصل على عدد ناقص من الضلع الأول بواحد فما خرج فهو المراد.

نوع آخر ننقص من المضلع الأخير الضلع الأول ونقسم ما بقي على عدد ناقص من المضلع الأول بواحد فما خرج نزيد عليه المضلع الأخير ليحصل المطلوب

مثال النوع الأول أردنا جمع المضلعات المتوالية للأربعة إلى مال الكعب ضربنا الضلع الأول وهو أربعة في المضلع الأخير مال كعبها وهو 1,023 حصل 4,096 نقصنا منه الضلع الأول وهو أربعة بقي 4,092 قسمناه على ثلاثة وهو ناقص من الضلع الأول بواحد خرج من القسمة 1,364 وهو المطلوب.

مثال النوع الثاني نقصنا من المضلع الأخير وهو 1,024 واحدًا بقي 1,023 ضربناه في الضلع الأول وهو أربعة حصل 4,092 قسمناه على ثلاثة خرج 1,364 وهو المراد

مثال النوع الثالث نقصناه الضلع الأول وهو أربعة من المضلع الأخير وهو 1024 بقي ألف وعشرون قسمناه على ثلاثة وهي ناقص من الضلع الأول بواحد خرج من القسمة ثلاثمائة وأربعون زدناه على المضلع الأخير وهو ألف وأربعة وعشرون بلغ 1364 وهو المطلوب.

وإن كان الضلع الأول كسرًا ننقص كسر المضلع الأخير عن مخرجه ونضرب الباقي في كسر الضلع الأول فما حصل نقسمه على فضل مخرج الضلع الأول على كسره فما خرج من القسمة نقسمه على مخرج المضلع الأخير إن كان أكثر منه وإلا ننسبه.

مثاله أردنا أن نجمع مضلعات ثلاثة أرباع إلى مال المال وكان مال ماله

0

81

256

نقصناه كسره عن مخرجه بقي 175 ضربناه في كسر الضلع الأول الذي هو ثلاثة حصل 535 قسمناه على مخرج المضلع الأخير فخرج من القسمة

2

13

256

وهو المطلوب.

مثال آخر أردنا أن نجمع مضلعات متواليات الثلاثة أسباع إلى الكعب وكان كعبها

0

27

343

أخذنا فضل مخرجه على كسره فكان 316 ضربناه في الثلاثة التي هو كسر الضلع الأول حصل 948 قسمناه على فضل مخرج الضلع الأول على كسره وهو أربعة خرج من القسمة 237 نسبناه إلى مخرج المضلع الأخير الذي هو 343 فصار هكذا

0

237

343

وهو المطلوب.

والضابطة الشاملة للصحاح والكسور أن نأخذ التفاضل بين الواحد وكل واحد من الضلع الأول والمضلع الأخير ونضرب الضلع الأول في التفاضل الثاني ونقسم الحاصل على التفاضل الأول فما خرج فهو المطلوب.

مثاله أردنا جمع مضلعات متواليات لثلاثة أسباع إلى الكعب وكان التفاضل الأول أربعة أسباع والثاني

0

316

343

ضربنا الضلع الأول وهو ثلاثة أسباع في التفاضل الثاني حصل

0

948

2,401

قسمناه على التفاضل الأول وهو أربعة أسباع خرج من القسمة

0

237

343

وأمّا بالوجه الثاني قسمنا الثاني على الأول خرج من القسمة

1

30

49

ضربناه في الضلع الأول الذي هو ثلاثة أسباع حصل

0

237

343

وهو المطلوب.

القاعدة السادسة عشر إذا أردنا أن نحصل مضلع عدد يكون عدد منزلة كثيرا من غير أن نحصل جميع مضلعاته المتوالية التي كانت بينهما وهذه أيضًا مما استنبطناه نعرف عدد منزلة ذلك المضلع فإن كان قابلا للتنصيف إلى الواحد نعرف عدد مرات تنصيفه إلى الواحد فنربع الضلع الأول بعدته يكون المربع الأخير هو المطلوب.

مثاله أردنا مال كعب كعب الخمسة وكان عدد منزلة ثمانية وهي تبلغ بثلاثة تنصيفات إلى الواحد ربعنا الخمسة ثلاث مرات حصل المربع الأول 25 والثاني 625 والثالث 390,625 وهذا مال كعب الكعب للخمسة وإن لم يكن عدد منزلة المضلع المطلوب قابلاً للتنصيف إلى الواحد نأخذ منه أكثر عدد قابل للتنصيف إلى الواحد نأخذ منه أكثؤ عدد قابل للتنصيف إلى الواحد ثم الباقي هكذا إلى أن لا يبقى شيء أو يبقى واحد ليحصل لنا أعداد مجموعها بقدر عدد منزلة ذلك المضلع ويكون كل واحد منها قابلاً للتنصيف إلى الواحد وكان أحدها واحد والباقية قابلة للتنصيف إلى الواحد نضعها في جدول كما سبق في القاعدة التاسعة ونعرف عدد مرات تنصيف كل واحد منها إلى الواحد ونضعه في جنبه ونضع بإزاء الواحد صفرا ونسميها بأعداد المرات ثم نربع الضلع الأول مرة بعد أخرى بعدة العدد الأكثر منها ونضع مربع الأخير بإزائه وكذا نضع بإزاء كل واحد من تلك الأعداد المربع الذي حصل من تربيع الضلع الأول مرات بعدته ونضع بإزاء الصفر الضلع الأول ثم نضرب هذه المضلعات الموضوعة في الجدول بعضها في بعض فيكون الحاصل الأخير هو المطلوب.

مثاله أردنا أن نحصل مال كعب كعب كعب الكعب للثلاثة وعدد منزلة أربعة عشر قسمناه إلى ثمانية وأربعة واثنان وضعناها في الجدول وتممنا هكذا العمل

أقسام أربعة عشر	ثمانية	عدد مرات تنصفها إلى الواحد	يقبل التنصيف ثلاث مرات	تربيع الضلع الأول ثلاث مرات	6,561
	أربعة		مرتان	تربيع الضلع الأول مرتان	81
	اثنان		مرة وحدة	تربيع الضّلع الأوّل مرة واحدة	9

ثم ضربنا 6561 في 81 حصل 531,441 ضربناه في التسعة حصل 4,782,969 وهو مال كعب كعب كعب الكعب للثلاثة وقد ذكرنا مضمون هذه القاعدة في القاعدة التاسعة على أن الضلع الأول اثنان خصوصا أوردناها هيهنا للعموم والتمييز عند الحوالة إليها

القاعدة السابعة عشر كل أربعة إعداد إن كانت متناسبة اعنى يكون نسبة الأول منها إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع يكون حاصل ضرب الأول في الرابع مساويا لحاصل ضرب الثاني في الثالث وقد عبر المنسوب والمنسوب إليه بالمقدم والتالي.

القاعدة الثامنة عشر نسبة أعظم المقدارين إلى ثالث أعظم من أصغرهما إليه ونسبة الثالث إلى أصغرهما أعظم من نسبة إلى أعظمهما.

القاعدة التاسعة عشر إذا كانت مقادير نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع ونسبة الخامس إلى الثاني كنسبة الثالث إلى السادس فيكون نسبة الأول إلى السادس كنسبة الخامس إلى الرابع.

القاعدة العشرون إذا كانت مقادير نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع ونسبة الأول إلى الخامس كنسبة السادس إلى الرابع فيكون نسبة الثاني إلى السادس كنسبة الخامس إلى الثالث

القاعدة الحادية والعشرون إذا كانت مقادير نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع ونسبة الخامس إلى الثاني كنسبة السادس إلى السابع يكون مجموع الأول والخامس إلى الثاني كنسبة مجموع الثالث والسادس إلى الرابع.

القاعدة الثانية والعشرون إذا كانت مقادير نسبة الأول منها إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع ونسبة الأول إلى الخامس كنسبة الثالث إلى السادس فيكون نسبة الأول إلى مجموع الثاني والخامس كنسبة الثالث إلى مجموع الرابع والسادس.

الفاعدة الثالثة والعشرون إذا كانت أربعة أعداد متناسبة فكما يكون نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع فيكون بالعكس أيضًا متناسبة، أعني يكون نسبة الثاني إلى الأول كنسبة الرابع إلى الثالث، أو نقول نسبة الرابع إلى الثالث كنسبة الثاني إلى الأول ويقال لها عكس النسبة.

القاعدة الرابعة والعشرون إذا كانت أربعة أعداد متناسبة فيكون نسبة المقدم إلى المقدم كنسبة التالي إلى التالي النظير للنظير ويقال لهذه أبدال النسبة.

القاعدة الخامسة والعشرون إذا كانت أربعة أعداد متناسبة فيكون نسبة الأول إلى مجموع الأول والثاني كنسبة الثالث إلى مجموع الثالث والرابع ويقال لها تركيب النسبة.

القاعدة السادسة والعشرون إذا كانت أربعة أعداد متناسبة وكان المقدم أعظم من التالي فيكون نسبة الأول إلى فضله على التالي كنسبة الثالث إلى فضله على الرابع ويقال لها قلب النسبة.

القاعدة السابعة والعشرون إذا كان صفان من المقادير متساويا العدة كل اثنين صنف من على نسبة اثنين من الصنف الآخر وانتظمت النسبة، أعني يكون نسبة الأول على الترتيب مثلا يكون نسبة الأول إلى الثاني من الصنف الأول كنسبة الأول إلى الثاني من الصنف الآخر وكذا يكون نسبة الثاني إلى الثالث من الصنف الأول كنسبة الثاني إلى الثالث من الصنف الآخر وقس عليه فيكون من الصنف الآخر ويقال لها المساواة المنتظمة.

القاعدة الثامنة والعشرون إذا كان صنفان من المقادير متساويا العددة كل اثنين من صنف على نسبة اثنين من الصنف الآخر لأعلى الترتيب مثلا تكون نسبة الأول إلى الثاني من الصنف الأول كنسبة الثاني إلى الثالث من الصنف الآخر ونسبة الثاني إلى الثالث من الصنف الأول كنسبة الأول إلى الثاني من الصنف الآخر فتكون نسبة الأول إلى الأخير من الصنف الأول كنسبة الأول إلى الأخير من الصنف الأخير ويقال لها المساواة المضطربة.

القاعدة التاسعة والعشرون إذا توالت أربعة أعداد على نسبة أي يكون نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثاني إلى الثالث والثالث إلى الرابع فيكون حاصل ضرب مرّبع الأول في نفس الرابع يساوي كمعب الثاني وحاصل ضرب مربع الرابع في الأول يساوي مكعب الثالث.

القاعدة الثلاثون إذا توالت أعداد متناسبة مبتدءة من الواحد فثالث الواحد مربع وكذلك خامسة وسابعة وما بعده يترك واحد ونوخذ واحد ورابع الواحد مكعب وكذلك سابعه وعاشره اثنان ويوخذ واحد وخامس والواحد مال وكذلك تاسعه وما بعده يترك ثلاثة ونوخذ واحد وسابع الواحد مال كعب وكذا ما بعده يترك خمسة ويوخذ واحد ويكون ضلع أول تلك المضلعات الأعداد المناسبة على التوالي.

القاعدة الحادية والثلاثون إذا توالت أربعة أعداد على نسبة إذا ضرب الأول في الثالث وكذا الثاني في الرابع ثم نضرب الحاصل الأول ومساو لمربع العدد الثاني في الحاصل الثاني وهو مساو لمربع العدد الثالث يكون جذر الحاصل هذا مساويا لحاصل ضرب العدد الأول في الرابع وهو مساو لحاصل ضرب العدد الثاني في الثالث أيضًا.

القاعدة الثانية والثلاثون إذا نقص من عددين أو زيد عليهما عددان على نسبتهما كان الباقيان أو المجموعان على تلك النسبة أيضًا.

القاعدة الثالثة والثلاثون كل عدد يضرب في عددين فيكون النسبة بين الحاصلين كالنسبة بينهما.

القاعدة الرابعة والثلاثون كل عدد ضرب في عدد آخر يكون نسبة أحد المضروبين إلى مربعه كنسبة المضروب الآخر إلى حاصل الضرب فيكون بعد العكس وإلا بدال نسبة حاصل الضرب إلى مربع أحدهما كنسبة المضروب الآخر إليه أي إلى جذر ذلك المربع إلى عدة أجذاره كنسبة الجذر إلى تلك العدة مثلا نسبة ستة عشر إلى ثلاثة أجذاره وهو اثنى عشر كنسبة الجذر وهو أربعة إلى عدة الأجذار وهو ثلاثة فإذا ضرب الأربعة في الثلاثة حصل اثنى عشر ويكون نسبة إلى مربع الأربعة وهو ستة عشر كنسبة الثلاثة إلى الأربعة.

القاعدة الخامسة والثلاثون كل عدد ضرب تارة في عدد وتارة قسم عليه وضرب الحاصل في الخارج من القسمة فما حصل فهو مساو لمربع ذلك العدد.

القاعدة السادسة والثلاثون كل عددين قسم كل واحد منهما على الآخر وضرب مجموع الخارجين من القسمتين في حاصل ضرب أحد العددين في الآخر فما حصل فهو مساو لمجموع مربعي العددين.

القاعدة السابعة والثلاثون إذا قسم أحد العددين على الآخر وكذا الآخر على الأول فنسبة أحد الخارجين إلى الآخر كنسبة إلى الواحد مثناة وإذا قسم الواحد على أحد الخارجين يخرج الآخر وإذا ضرب مجموع أحد الخارجين والواحد في المقسوم عليه يحصل مجموع العددين.

القاعدة الثامنة والثلاثون كل عدد قسم على عدد فيكون نسبة الخارج من القسمة إلى مربعه كنسبة المقسوم عليه إلى المقسوم فإذا أردنا أن نحصل مجذورا يكون نسبة مجذوره العدد المطلوب.

القاعدة التاسعة والثلاثون نسبة سعر إلى سعر عند تساوي المسعرين كنسبة مثمن بالسعر الثاني إلى مثمن بالمسعر الأول عند تساوي الثمن على التبادل مثلا إذا كان مثقالا من اللولو بعشرة دراهم ومثقال من الذهب بخمسة دراهم فيكون عشرون مثقالا من الذهب بمائة دينار وعشرة مثاقيل من اللؤلؤ بمائة دينار أيضًا، وكذا يكون النسبة بين الوزنين والمكيلين والذراعين المصطلحين في بلدين أو فيما بين طائفتين وبين ما يوزن ويكال ويمسح بهما، مثلا لما كان ذراع اليد ثلاثة أرباع لذراع الهاشميّ فيكون عدد ذرعان ثوب ممسوح بذراع الهاشمي ثلاثة أرباع عدد ذرعان ذلك الثوب إذا مسح بذراع اليد على التبادل.

ونسبة مربع ذراع اليد إلى مربع ذراع الهاشمي كنسبة تسعة إلى ستة عشر فيكون نسبة مساحة سطح ممسوح بذراع الهاشمي إلى مساحة ذلك السطح بذراع اليد أيضًا كنسبة تسعة إلى ستة عشر.

ونسبة مكعب ذراع اليد إلى مكعب ذراع الهاشمي كنسبة 72 إلى 64 فيكون نسبة مساحة مجسم ممسوح بذراع الهاشمي إلى مساحة بذراع اليد أيضًا كنسبة 37 إلى 64 وأيضًا يكون نسبة أجرة أجير إذا تساوت أيام عملهما كنسبة أيام عمل الثاني إلى أيام عمل الأول على تقدير تساوي الأجرتين وكذا الحكم إذا كانت عدة من جنس معادلا لعدة من جنس الآخر يكون نسبة مقدار جنس واحد من الأعلى إلى مقدار جنس واحد من الأدنى إلى عدد جنس الأعلى مثلا إذا كانت عشرة أشياء معادلة لثلاثة أموال يكون نسبة مال واحج إلى شيء قدر بمقياسين هاشمي واحد ومال واحد.

القاعدة الأربعون نربع كل عدد يساوي مجموع مربعي قسميه وحاصل ضرب أحدهما في ضعف الآخر فيكون التفاضل بين كل مربعين بقدر حاصل ضرب مجموع جذريهما في تفاضلهما.

القاعدة الحادية والأربعون كل عدد نصف وقسم بمختلفين فمجموع حاصل ضرب أحد القسمين في ضعف الآخر ومربع الفضل بين النصف القسم يساوي مربع النصف، وأيضًا مجموع مربعي القسمين يساوي ضعف مربعي النصف والفضل بين النصف والقسم.

القاعدة الثانية والأربعون كل عدد ضرب في أحد قسميه ونزيد على الحاصل مربع نصف القسم الآخر يكون المجموع مساويا لمربع المجموع ذلك القسم ونصف القسم الآخر.

القاعدة الثالثة والأربعون نسبة المربع إلى المربع كنسبة الجذر إلى الجذر مثناه اعنى إذا كان نسبة الجذر إلى الجذر نسبة النصف يكون نسبة المربع إلى المربع نصف النصف أي الربع كل لنظيره وكذا يكون نسبة الدائرة إلى الدائرة كنسبة القطر إلى القطر مثناة وكذا يكون النسبة بين كل سطحين متشابهين وبين أضلاعهما وأقطارهما النظائر.

القاعدة الرابعة والأربعون نسبة الكعب إلى الكعب كنسبة الضلع إلى الضلع مثلثه وكذا يكون نسبة الكرة إلى الكرة كنسبة القطر إلى القطر مثلثه، وكذا الحكم بين كل متشابهين وبين أضلاعهما وبين أقطارهما النظير للنظير، وكذا يتزايد تكرار نسبة الضلع الأول إلى الضلع الأول بتزايد عدد منزلة المضلعات ويكون عدد التكرار مساويا لعدد منزلة المضلع كما تكون نسبة مال الكعب إلى مال الكعب كنسبة الضلع الأول إلى الضلع الأول مخمسة.

القاعدة الخامسة والأربعون إذا أردنا أن نقسم عددا نسبة ذات وسط وطرفين أي يكون نسبة إلى أعظم قسميه كنسبة أعظم قسميه إلى الأصغر ولا بد تكون نسبة القسم الأصغر إلى الأعظم كنسبة الأعظم إلى مجموعهما فطريقة أن نضرب ذلك العدد في نفسه أو نزيد على الحاصل ربع الحاصل ونأخذ جذر ما بلغ وننقص منه نصف ذلك العدد فما بقي فهو قسمة الأعظم،

وإن كان القسم الأعظم معلومًا والأصغر ومجموعهما مجهولين نعمل عليه ذلك العمل بعينه يحصل القسم الأصغر يكون مجموعهما العدد المقسوم على نسبة ذات وسط وطرفين،

وإن كان أصغر القسمين معلومًا فقط نعمل عليه ذلك العمل بعينه فما بقي آخر العمل بعينه نزيد عليه الأصغر المعلوم فما بلغ فهو القسم الأعظم نوع آخر كل عدد نضرب في لز د نه كط لط سادسة يخرج من القسمة القسم الأصغر وإذا كان الأصغر معلومًا نقسمه على فضل الواحد على الرقوم وهي كب نه د لط ل كا سادسة فما خرج من القسمة فهو القسم الأعظم.

وأعلم أنه كلما كان أحد هذه المقادير الثلاثة منطبقا فليس الباقيان بمنطقين وقد استخرجنا هذه القاعدة من الأصول.

القاعدة السادسة والأربعون إذا كان مثلث قائم الزاوية يكون مجموع مربعي ضلعيه المحيطين بها مساويا لضلع الموتر بها.

القاعدة السابعة والأربعون كل مثلث إذا خرج من أحدى زواياه خطوط إلى الضلع الموتر بها ليصير مثلثات تكون نسبة بعضها إلى بعض كنسبة قواعدها من الضلع الذي وصل إليه تلك الخطوط النظير للنظير.

القاعدة الثامنة والأربعون كل وترين متقاطعان في دائرة فيقسم كل واحد منهما بالآخر يكون حاصل ضرب أحد قسمي وتر منهما في القسم الآخر مساويًا لحاصل ضرب أحد قسمي الوتر الآخر في القسم الآخر منه فإذا تقاطع وتر مع القطر على زاويا قائمة تكون حاصل ضرب أحد قسمي القطر في الآخر مساويا لمربّع نصف الوتر.

القاعدة التاسعة والأربعون إذا أردنا أن نستخرج العدد التام وهو الذي يكون أجزاؤه مثله أعني يكون مجموع كل عدد يعده يساويه كالستة فأن الواحد والاثنين والثلاثة يعدها ومجموعها ستة وطريقه أن نجمع أعداد متوالية من الواحد على نسبة الضعف وكان المجموع عددًا أوّلا أي لا يعده غير الواحد ثم نضرب المجموع في آخر تلك الأعداد يحصل عدد تام.

مثاله جمعنا الواحد والاثنين والأربعة كان المجموع سبعة ولا يعدها غير الواحد ضربناها في الأربعة التي هي آخر تلك الأعداد حصلت ثمانية وعشرون وهو العدد التام مجموع ما يعده يساويه أعني مجموع الواحد والاثنين والأربعة والسبعة والأربعة عشر.

القاعدة الخمسون إذا أردنا أن نستخرج العددين المتحابين وهما عددان يكون مجموع أجزاء كل واحد منهما مساويا للآخر نطلب عددا من تضاعيف الاثنين إذا ضربناه تارة في واحد ونصف وتارة في ثلاثة وننقص من كل واحد من الحاصل واحدًا فلا يعد لكل واحد من الباقيين غير الواحد فإذا وجد يسمى الباقي الأوّل الفرد الأول والثاني الفرد الثاني ولا بد تكون الفرد الثاني زائدا على ضعف الفرد الأول بواحد ثم نضرب الفرد الأول في الفرد الثاني ونسمي الحاصل بالفرد الثالث ثم نضرب العدد الموجود من تضاعيف الاثنين تارة في الفرد الثالث وتارة في مجموع الفردين الأول والثاني فيكون الحاصل الأول أحد العددين المتحابين وإذا نريد الحاصل الثاني عليه فما بلغ فهو العدد الأخير من المتحابين.

مثاله أخذنا من تضاعيف الاثنين الأربعة وضربناها في واحد ونصف حصلت ستة نقصنا منها واحدا بقيت خمسة ولا يعدها غير الواحد فهي الفرد الأول ثم ضربنا الأربعة أيضًا في ثلاثة حصل اثنا عشر نقصنا منه واحدا بقي أحد عشر وهو الفرد الثاني أوردنا على ضعف الفرد الأول واحد أبلغ أيضًا الفرد الثاني ضربنا أحد الفردين في الآخر حصلت خمسة وخمسون وهو الفرد الثالث ثم ضربنا الأربعة في الفرد الثالث حصل مائتان وعشرون وهو أحد المتحابين وأيضًا ضربنا الأربعة في مجموع الفردين الأول والثاني حصلت أربعة وستون زدناه على ذلك بلغ مائتان وأربعة وثمانون وهو العدد الثاني من المتحابين.

وقد أوردنا هذا المثال هذا المثال مع مثال آخر في جدول ليسهل فهمه ويكون دستورًا لمن أراد هذا ذلك وهو

أخذنا عددا من تضاعيف الاثنين بالصفة المذكور فكان	ضربناه في واحد ونصف ونقصنا الحاصل واحد بقي الفرد الأول	زدنا على ضعف الفرد الأول واحد بلغ الفرد الثاني	ضربنا أحد الفردين في الآخر حصل الفرد الثالث	حاصل ضرب مجموع الفردين الأولين في العدد الزوج المذكور من تضاعيف الاثنين	ضربنا الفرد الثالث في العدد المذكور حصل أقل المتحابين	زدنا عليه الحاصل المتقدم بلغ أكثر المتحابين
4	5	11	55	64	220	284
8	11	23	253	272	2,024	2,296

وأمّا استخراج أجزاء كل واحد من المتحابين للامتحان أمّا أجزاء العدد الأقل منهما فهي الواحد وتضاعيفه إلى العدد الزوج الذي نعمل عليه وكذا كل واحد من الفرد الأول والثاني وتضاعيف كل واحد منهما بعدة تضاعيف الواحد إلى الزوج المذكور وكذا الفرد الثالث وتضاعيفه بعدة تضاعيف الواحد إلى نصف الزوج المذكور فيكون المجموع جميع أجزاء العدد الأقل من المتحابين يساوي العدد الأكثر منهما.

وأمّا أجزاء العدد الأكثر فهي الواحد وتضاعيفه إلى العدد الزوج الذي نعمل عليه وكذا كل واحد من الفرد الأول والثاني وتضاعيف كل منهما بعده تضاعيف الواحد إلى الزوج المذكور وكذا الفرد الثالث وتضاعيفه بعده تضاعيف الواحد نصف الزوج المذكور فيكون المجموع جميع أجزاء العدد الأقل من المتحابين تساوي العدد الأكثر منهما.

وأمّا الجزاء العدد الأكثر فهي الواحد وتضعيفه إلى الزوج المذكور ومجموع الأفراد الثلاثة وتضاعيفه بعده تضاعيف الواحد إلى نصف الزوج المذكور

مثال لجمع أجزاء العددين المتحابين المستخرجة عن الأربعة

أجزاء العدد الأقل أعني 220 مجموعها يساوي الأكثر				أجزاء الأكثر أعني 284 مجموعها يساوي الأقل
الواحد وتضاعيفه إلى الأربعة	الفرد الأول وتضاعيفه مرتين	الفرد الثاني وتضاعيفه مرتين	الفرد الثالث وتضاعيفه مرتين	الواحد وتضاعيفه إلى الأربعة	مجموع الأفراد الثلاثة وضعفه
1	5	11	55	1	71
2	10	22	110	2	142
4	20	44		4
مجموع هذه الأعداد 284				مجموع هذه 220

مثال لجمع أجزاء العددين المتحابين المستخرجة عن الثمانية

أجزاء العدد الأقل أعني 2024 مجموعها يساوي الأكثر				أجزاء الأكثر أعني 2296 مجموعها يساوي الأقل
الواحد وتضاعيفه إلى الثمانية	الفرد الأول وتضاعيفه ثلاث مرات	الفرد الثاني وتضاعيفه ثلاث مرات	الفرد الثالث وتضاعيفه مرتين	الواحد وتضاعيفه إلى الثمانية	مجموع الأفراد الثلاثة وتضاعيفه مرتين
1	11	23	253	1	287
2	22	46	506	2	574
4	44	92	1012	4	1148
8	88	184		8
مجموع هذه الأعداد 2296				مجموع هذه 2024