مفتاح الحساب/المقالة الأولى/الباب الخامس

من ويكي مصدر، المكتبة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
مفتاح الحساب
المقالة الأولى: الباب الخامس
المؤلف: غياث الدين الكاشي



المقالة الأولى: الباب الخامس
في استخراج الضلع الأول من المضلعات


كل عدد يضرب في نفسه ثم ضرب في الحاصل ثم يضرب في الحاصل الثاني ثم يضرب في الحاصل الثالث وهكذا مالانهاية له فذلك العدد الأول يسمى ضلعاً أولاً بالقياس إلى كل واحد من تلك الحواصل وجذراً بالقياس إلى الحاصل الأول أعني حاصل ضرب العدد في نفسه وكعباً بالقياس إلى الحاصل الثاني وتلك الحواصل يسمى مضلعات باسم العام ولكل مضلع اسم خاص كما أن الحاصل الأول يسمى مجذوراً ومالاً ومربعاً والحاصل الثاني مكعباً وكعباً أيضاً باسم الضلع كما قيل والأولى أن يقول الكعب اسم المضلع وقد يطلقونه على الضّلع مجاذاً والحاصل الثالث مال والرابع مال كعب والخامس كعب كعب ثم مال مال كعب ثم مال كعب كعب ثم كعب كعب كعب وهكذا تبدل لفظة كعب بمالين ثم تبدل أحد المالين بكعب ثم تبدل المال الآخر بكعب أيضاً هكذا إلى مالانهاية له يكون الواحد وتلك الحواصل متناسبة على نسبة واحدة أي يكون نسبة الواحد إلى الجذر كنسبة الجذر إلى المال وكنسبة المال إلى الكعب وكنسبة الكعب إلى مال المال وهكذا يكون جميعها متناسبة إلى مالانهاية له فهذا من جانب الصعود ومثل ذلك ينبغي أن يتصور في جانب النزول أعني جزء الجذر وجزء المال وجزء الكعب وجزء مال المال إلى غير النهاية وهي أيضاً متناسبة على الولاء ونسبة كل واحد منها إلى الواحد كنسبة الواحد إلى سميّه من جانب الصعود وظاهر أن الجذر في أولى المنازل والمال في ثانيها والكعب في ثالثها وهكذا إلى مالانهاية له وإذا أردنا معرفة عدد منزلة مضلّع نأخذ لكل مال اثنين ولكل كعب ثلاثة ونجمع جميعها يحصل عدد منزلة وإن أردنا اسم المضلّع من عدد منزلة ينظر إن كان له ثلاث صحيح نأخذ بعدة ثلاثة كعباً ونضيف بعضها إلى بعض يكون اسم ذلك المضلع وإن لم يكن له ثلاث صحيح نأخذ منه اثنين ونجعلهما مالا وبعدة ثلاث الباقي كعاباً إن كان له ثلاث صحيح وإلا نأخذ اثنين آخرين ونجعلهما مالا آخر وبقدر ثلاث الباقي تكرر الكعاب ونقدم لفظ المال على الكعب يحصل اسم المضلع

فاعلم أن كل مضلّع يوجد له ضلع يتولد ذلك المضلّع منه بالحقيقة يقال له أنه منطق ومالا يوجد له ضلع وكذلك يقال أنه أصم والمضلعات المنطقة يقع جميعها في مرتبة الآحاد والأموال المنظقة لا يقع في العشرات ويقع في المئات ولا يقع في الألوف ويقع في عشراتها وإما المكعب فيقع في الألوف ثم في ألوف الألوف وطريق معرفة ذلك أن تبتدء من مرتبة الآحاد ونأخذ مراتب بعدة منزلة أي مضلع شئنا ونسميها دور المنطق والأصم ثم نأخذ دورا آخر بتلك العدة أيضاً وهكذا بالغاً ما بلغ فيكون ذلك المضلع منطقا في أول كل دور وأصماً في البواقي فعلم منها ان المجذور يقع في مرتبة ولا يقع في مرتبة والمكعب يقع في مرتبة ولا يقع في مرتبتين ومال المال يقع في مرتبة ولا يقع في ثلاث مراتب وعلى هذا القياس

أما استخراج الجذر فطريقه أن نضع العدد المطلوب جذره ونخط فوقه خطاً عرضياً وبين كل مرتبتين خطاً طولياً كما وصفنا في القسمة ونعلم كل مرتبة من المراتب الأفراد علامة لتمييز المراتب المنطقة أو نثنى الخطوط التي كان كل واحد منها فاصلة بين الأدوار ثم نطلب أكثر عدد من الآحاد إذا ضربناه في نفسه وننقص الحاصل من النطق الأخير بصورته ومما عن يساره إن كان في يساره شيء لا يبقى شيء أو يبقى مما ينقص منه فإذا وجد عدد بهذه الصفة نضعه فوق المنطق الأخير وتحته بمسافة يقتضيها العمل كما في القسمة محاذياً له ونضرب الفوقاني في التحتاني أي في نفسه وننقص الحاصل مما يحاذيه ومما على يساره في الذهن أو يوضع الحاصل ونضع الباقي تحته بعد أن نخط بينهما بفاصلة ثم نزيد الفوقاني على التحتاني وننقل المجموع إلى جانب اليمين بمرتبة واحد بعد أن نخط على فوق ما كان أولا خطاً عرضياً ليدل على محوه ويصير حينئذ آحاده محاذية لأصم كان في يمين المنطق الأخير ثم نطلب أكثر عدد من الآحاد نضعه فوق المنطق المتقدم على المنطق الأخير وتحته على يمين ما ننقله يمكن أن نضرب ذلك المفرد الفوقاني في مرتبة مرتبة من التحتانية وننقص الحاصل بصورته مما يحاذيه ومما عن يساره فإذا وجد ونعمل به ما ذكرنا نريد ذلك العدد المفرد الفوقاني على التحتاني وننقل ما في السطر التحتاني إلى اليمين بمرتبة وإن لم يوجد فنضع فوق العلامة وتحته على يمين ما ننقله صفراً وننقل وهكذا نعمل إلى أن ينتهي إلى المنطق الأول ونعمل به ما عملنا الغيره فما حصل فوق الجدول في سطر الخارج فهو الجذر لذلك العدد إن لم يبق في صف العدد تحت الخط الفاصل شيء فنعلم أن ذلك العدد منطق وإن بقي شيء فنعلم أنه أصم وحينئذ ينبغي أن نزيد ما كان فوق المنطق الأول على التحتاني فما حصل يساوي ضعف الحاصل في سطر الخارج ونزيد على ذلك المبلغ واحد ليحصل ما بين مربع العدد الذي خرج بالعمل والمربع الذي زاد عليه بواحد فإذا جعلناه مخرجاً والباقي من العدد كسراً فما حصل فوق العلامات مع هذا الكسر يكون جذر ذلك العدد بالتقريب الاصطلاحي

مثاله أردنا أن نستخرج جذر هذا العدد 331778 وضعناه ورسمنا الجدول واعلمنا العلامات كما ذكرنا ثم طلبنا أكثر عدد بالصفة المذكورة فوجدناه خمسة وضعناها فوق المنطق الأخير وتحته بمسافة وضربناها في نفسها فحصل 25 نقصناه مما يحاذي الخمسة ومما عن يسارها بالصورة وذلك 33 فبقيت ثمانية وضعناها تحت الثلاثة بعد أن خططنا بينها وبين المنقوص منه بفاصلة وزدنا الفوقاني على التحتاني فصار 10 نقلناه بمرتبة بعد أن خططنا فوق الخمسة التحنانية خطة ليدل على محوها ثم طلبنا أكثر عدد مفرد آخر بالصفة المذكورة فوجدنا سبعة وضعناها فوق المنطق المتقدم على المنطق الأخير وتحتها على يمين آحاد المنقول وضربناها أولاً في الواحد التحتاني فحصلت أيضاً سبعة نقصناها من الثمانية التي بحاذبها بقي واحد وضعناها تحت الثمانية بعد الفاصلة وتركنا ضربها في الصفر لإن الحاصل أيضاً صفر ثم ضربناها في السبعة التي على يمين الصفر حصل 49 نقصناه مما يحاذيها ومما يحاذيها ومما على يسارها أعني 117 فبقي 64 وضعناه تحت ذلك بعد الخط الفاصل نعم ثلاثة جداول التي فيها 117 ثم زدنا السبعة الفوقانية على التحتانية فحصل في السطر التحتاني 114 نقلناه بمرتبة إلى اليمين بعد التخطيط فوق ما كان ثم طلبنا أكثر عدد آخر بالصفة المذكورة فوجدنا ستة وضعناها فوق المنطق الأول وتحته يمين ما نقلناه وضربناها أولاً في الواحد الأخير ثم في الواحد المتقدم ثم في الأربعة ثم في الستة ونقصنا الحواصل مما يحاذي كلاً منها أو من المحاذي له مما على يساره فبقيت من العدد خمسة ثم زدنا الفوقاني أعني الستة على التحتاني أعني 1146 وزدنا واحداً فصار 1153 فهو المخرج الكسر الذي هي الخمسة الباقية وما حصل فوق الجدول وهو الصحاح فالجذر الخارج من العمل

576
5
1153

وجدول العمل هذين وسنورد عملاً نستخرج به جذر الأصم أدق من ذلك وإن أردنا نضرب كل مفرد من سطر الخارج إذا وجد فيما في التحتاني في حكم الثابت بطريق ما كان أحد المضروبين مفرداً ونضع الحاصل تحت العدد وننقصه منه وهو أسهل إذا كان الأرقام كثيرة وذلك ما استنبطناه وأما الطريق الأولى فنحن نفتحناها هكذا

ما نقص حاصل الضرب فيه في الذهن   ما وضع حاصل الضرب فيه بالكتابة ثم نقص من العدد
6 7 5 6 7 5
1 8 7 1 3 3 1 8 7 1 3 3
8 5 2
1 8
8 6 7
2 1
4 9 4
5 8 6
6 6
2
4 2
4
6 3
5
 
6 4 1 1 6 4 1 1
7 0 1 7 0 1
5 5

أما استخراج الضلع الأول لسائر المضلعات فالعمل فيه أن نضع العدد المضلع المفروض الذي نريد أن نستخرج ضلعه الأول ونرسم الجدول كما ذكرنا في عمل الجذر ونبدأ من مرتبة الآحاد ونعد دوراً بحيث يكون عدد مراتب كل دور بعدة المنزلة التي يكون للمضلع المفروض كما ذكرنا ونجعل الخطوط الطولية التي وقعت بين كل دورين مثناة لتميز الأدوار فيكون أوائل الأدوار هي المراتب المنطقة بالمضلع المفروض والبواقي هي الأصمة به ثم نقسم طول الجدول أقساما عدتها مساوية لعدد منزلة ذلك المضلع ونخط بين كل قسمين خطاً عرضياً وينبغي أن يكون طول كل قسم مقدارا صالحا على ما يقتضي العمل ويسمى القسم الأعلى صف العدد والقسم الأسفل صف الضلع والذي فوق الأسفل صف المال والذي فوقه صف الكعب وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف العدد وما فوق صف العدد على فوق الجدول سطر الخارج ويسمى أيضاً القسم الذي تحت صف العدد ثاني العدد والذي تحته ثالثة وهكذا إلى صف الضلع ونبدأ بدور الأخير ونطلب أكثر مفرد من الآحاد يمكن أن ننقص مضلعه أي مضلع المفروض المتولد من ذلك المفرد عما وقع في الدور الأخير من العدد أي الأيسر وقد وضعنا المضلعات المتوالية من المال إلى مال مال كعب الكعب لكل واحد من مفردات الآحاد في جدول ليسهل طلب المفرد المذكور فإذا وجد نضعه فوق المرتبة المنطقة الأخيرة في سطر الخارج وتحتها في أسفل صف الضلع محاذياً له ونضرب المفرد الفوقاني في التحتاني ونضع الحاصل أي مربعة في أسفل صف المال بحيث يكون آحاده محاذية لما وضع في صف الضلع أي في الجدول المنطق الأخير وعشراته عن يساره في جدول أخر ثم نضرب المفرد الفوقاني فيما وضع في أسفل صف المال ونضع الحاصل أي مكعبه في أسفل صف الكعب بالشرط المذكور وهكذا إلى أن ينتهي إلى الصّف الذي نسميّه ثاني العدد فحيئنذ يكون جميع الأعداد الحاصلة في الصفوف هي المضلعات المتوالية لذلك المفرد فنضرب المفرد الفوقاني فيما وضع في صف ثاني العدد فما حصل هو المضلّع المطلوب لذلك المفرد ننقصه عما يحاذيه من صف العدد ثم نزيد المفرد الفوقاني على التحتاني الموضوع في صف الضلع مرة لصف ثاني العدد ونضرب الفوقاني أيضاً فيما حصل في صف الضلع ونزيد الحاصل على ما في صف المال ونضرب الفوقاني أيضاً فيما هو في صف المال ونزيد الحاصل على ما في صف الكعب وهكذا إلى أن نزيد على صف ثاني العدد ثم نزيد الفوقاني على التحتاني الذي في صف الضلع مرة ثانية لصف ثالث العدد ونضرب المفرد الفوقاني فيما أحصل حيئنذ في صف الضلع ونزيد على ما فوقه وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف ثالث العدد ثم نزيد الفوقاني على التحتاني الذي في صف الضلع مرة ثالثة لصف رابع العدد وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف الضلع فزيد الفوقاني على ما في صف الضلع لاجله وننقل ما هو في ثاني العدد إلى اليمين بمرتبة وما في صف ثالث العدد بمرتبتين وما تحت ذلك بثلاث مراتب هكذا إلى أن ينتهي إلى صف الضلع فننقله بعدة الصفوف التي تحت صف العدد فيقع آحاده بحذاء مرتبة يتقدمها المرتبة المنطقة التي يتقدم المنطقة الأخيرة

واعلم أن طريقة ضرب المفرد الفوقاني فيما وضع في كل صف وزيادة الحاصل على ما فوقه أو نقصان الحاصل مما في صف العدد أن نضربه فيما وضع في أي صف على ما ذكرنا فيما كان أحد المضروبين مفرداً ونضع الحاصل على الصف الذي فوق ذلك الصف بحيث يكون آحاده محاذية للمفرد الفوقاني المضروب أي واقعة في جدول أول الدور فوق ما كان فيه بعد أن نخط بينهما خطاً عرضياً ليدل على محو ما تحته في ذلك الصف إلا في صف العدد لأن في ذلك الصف ينبغي أن نضع حاصل الضرب تحت العدد وننقصه منه بصورته ونضع الباقي تحته بعد أن نخط بينهما بخط عرضي ليدل على محو ما فوقه في ذلك الصف فلا يزال يكون ما هو في حكم الثبات في صف العدد تحت الخط الفاصل وفي سائر الصفوف فوقه لإن وجه عمل صف العدد إلى ما تحته ووجه عمل سائر الصفوف إلى ما فوقه ثم نطلب أكثر مفرد من الآحاد إذا وضع فوق الجدول المنطق الذي يتقدم المنطق الأخير في سطر الخارج وتحتها في صف الضلع على ايسر ما وضع فيه فوق الخط الفاصل وضرب في جميع ما في صف الضلع أي فيما هو في حكم الثبات وزيد الحاصل على ما في صف المال ثم ضرب المفرد الفوقاني أيضاً في جميع ما صف المال في الثبات وزيد الحاصل على ما في صف الكعب وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف ثاني العدد فنضرب المفرد الفوقاني في جميع ما في ذلك الصفر يمكن أن ينقص الحاصل مما يحاذيه من صف العدد فإذا وجد نعمل به ما قلنا وبعد الفراغ من النقصان عن العدد نزيد المفرد الفوقاني على ما في صف الضلع فوق الخط الفاصل ونعمل بع كما تقدم لاجل صف صف ثم ننقل ما في الصفوف على الترتيب المذكور فإن لم نجد مثله نضع فوق الجدول المنطق المذكور صفراً وننقل مرة أخرى ما في الصفوف على الترتيب ثم نعمل بالمنطق الذي ينتهي إليه كما ذكرنا إلى أن ينتهي إلى المنطق الأول فنعمل به كما سبق حتى أن ننقص الحاصل عن العدد فإن لم يبق في صف العدد تحت الخط الفاصل شيء كان العدد المفروض منطقاً وما حصل في سطر الخارج فهو ضلعه الأول وإن بقي شيء فالعدد أصم والباقي هو كسر ومخرجه حسب التقريب الاصطلاحي هو ما بين مضلع الخارج وبين مضلع يزيد ضلعه على الخارج بواحد فيعمل بالمفرد الموضوع فوق المنطق الأول ما عملنا إلى وقت النقل وحيئنذ نجمع ما في جميع الصفوف التي تحت صف العدد فوق الخط الفاصل ونزيد على المجموع واحداً والحاصل هو ما بين المضلعين المطلوب أعني مخرج الكسر الاصطلاحي ويندرج في هذه الموامرة عمل استخراج الجذر أيضاً لكنا ذكرناها أولاً على الأنفراد ليسهل فهمه على المبتدئ

مثاله أردنا أن نستخرج الضلع الأول لهذا العدد 44240899506197 على أنه مال كعب وهو في المنزلة الخامسة فرسمنا الجدول كما ذكرنا ووضعنا العدد المذكور فيه وهو أربعة وأربعون ألف ألف ألف ألف ومائتان وأربعون ألف ألف ألف وثمانمائة وتسعة وتسعون ألف ألف وخمسمائة وستة الآف ومائة وسبعة وتسعون وفصلنا دوراً دوراً عدة مراتب كل دور بعدد منزلة مال الكعب الذي هو خمسة بالخطوط المثناه ثم طلبنا أكثر مفرد يمكن أن ينقص مال كعبه عن العدد المذكور وجدناه خمستة وضعناها فوق المنطق الأخير في سطر الخارج وتحته في أسفل صف الضلع ووضعنا مضلعاتها في أسافل صفوفها أعني مربعها وهو 125 في صف الكعب ومال مالها وهو 625 في صف مال المال ومال كعبها وهو 3125 في صف العدد تحت العدد بحيث يكون آحاد كل واحد منها في جدول المنطق الأخير ثم نقصنا ما وضعنا تحت العدد منه ووضعنا الباقي تحته بعد أن خططنا بينهما خطاً ليدل على محو ما فوقه ثم زدنا الخمسة الفوقانية على التحتانية ووضعنا المجموع وهو عشرة فوقها في صف الضلع بعد أن خططنا فوقه خطاً ليدل على محو ما تحته وضربنا الخمسة المذكورة في المجموع ووضعنا الحاصل فوق ما وضع في صف المال بحيث يكون آحاده في جدول المنطق الأخير وزدنا عليه ووضعنا المجموع فوقه بعد أن خططنا بينهما وضربنا الخمسة فيه وزدنا الحاصل على ما في صف الكعب وضربناها في الحاصل وزدناه على ما في صف مال المال ثم زدنا الخمسة الفوقانية على التحتانية مرة ثانية لصف الكعب وضربناها فيه وزدنا الحاصل على ما في صف المال وضربناها فيه وزدنا الحاصل على ما في صف الكعب ثم زدنا الخمسة المذكورة الفوقانية على التحتانية مرة ثالثة لصف المال وضربناها فيه وزدنا الحاصل على ما في صف المال ثم زدنا الفوقانية على التحتانية مرة رابعة لصف الضلع فحصل الان في الصفوف فوق الخطوط الفواصل هكذا في صف الضلع 25 وفي صف المال 250 وفي صف الكعب 1250 وفي صف مال المال 3125 وقد حان