مفتاح الحساب/المقالة الأولى/الباب الرابع

من ويكي مصدر، المكتبة الحرة
مفتاح الحساب/المقالة الأولى
الباب الرابع
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الباب الرابع
في القسمة


وهي في الصحاح بتجزئة المقسوم بأحاد المقسوم عليه تجزئة متساوية العدة ليتعين حصته الواحد من المقسوم عليه ويسمى تلك الحصته خارج القسمة وتعريفها الجامع إنها تحصيل عدد نسبته إلى الواحد كنسبة المقسوم إلى المقسوم عليه أو تحصيل عدد نسبته إلى المقسوم كنسبته الواحد إلى المقسوم عليه والعمل فيها أن نضع أرقام العدد المقسوم ونخط على فوقه خطاً في العرض نخط بين كل مرتبتين خطاً طولياً مبتدئاً من الخط العرضي إلى حد ما ثم نضع المقسوم تحت المقسوم بمسافة بحيث يحاذي آخر مراتب المقسوم عليه آخر مراتب المقسوم إن كان المقسوم عليه أقل مما يحاذيه من المقسوم بغير اعتبار جنسيته الراتب أي غير ما لا يحاذيه وإلا نضعه بحيث يحاذي ما في يمين آخر مراتب المقسوم آخر مراتبه وكذا يحاذي كل مرتبة تتقدمه لما يتقدم من الآخر ثم نطلب أكثر عدد من الآحاد يمكن أن نضربه في واحد واحد من مفردات المقسوم عليه بصورته وتنقص الحاصل مما يحاذيه من المقسوم ومما في يساره إن كان في يساره شيء فإذا وجد مثل هذا العدد نضع خارج الجدول على فوق الخط العرضي محاذياً لأولى مراتب المقسوم عليه ونضربه في كل واحد من مفردات المقسوم عليه وتنقص الحاصل مما يحاذيه أو منه ومما عن يساره إما في الذهن أو بالكتابة ونضع الباقي تحته إن بقي شيء بعد أن يخط بينهما خطة عرضية ليدل على محو ما فوقه واثبات ما تحته وينبغي أن يكون الباقي بعد نقصان حاصل كل ضرب في سطر واحد ولا يكون في ذلك السطر شيء من الأرقام التي في حكم المحو ليسهل على المحاسب استبيان العمل بخلاف ما ذهب عليه المتقدمون ويجب أن يكون ما يحاذي للمقسوم عليه مما يبقى من المقسوم أقل منه بصورته ثم ينقل أرقام المقسوم عليه إلى جانب اليمين بمرتبة واحدة بعد أن نخط على فوق ما كان أولاً خطته عرضيته ليدل على محو ما تحته واثبات ما فوقه لان وجه المقسوم عليه في العمل إلى فوقه ووجه المقسوم فيه إلى تحته أو ينقل أرقام ما يبقى من المقسوم إلى جانب اليسار بمرتبة واحدة بعد أن نخط تحت ما كان أولا خطة عرضية ليدل على محو ما فوقه ثم نطلب أكثر عدد بالصفة المذكورة ونضعه على يمين ما وضعناه أولا ليكون محاذياً لاولى مراتب المقسوم عليه إلى اليمين أو أرقام ما يبقى من المقسوم إلى اليسار بمرتبة أخرى وهكذا نعمل ان تصير الرتبة الاولى من المقسوم محاذية للمرتبة الاولى من المقسوم عليه ونتم العمل حينئذ يكون ما وضع في السطر الاعلى الذي فوق الخط العرضي خارج القسمة ونسميه سطر الخارج وهو عدد صحيح محسوب باعتبار المراتب وان بقي من المقسوم فهو كسر مخرجه عدد المقسوم عليه مثاله اردنا ان نقسم هذا العدد 3565908 على هذا العدد 475 رسمنا الجدول ووضعنا المقسوم والمقسوم عليه كما ذكرنا فطلبنا أكثر عدد من الآحاد بالصفته المذكورة فوجدناه سبعة ووضعناها فوق الخط العرضي الذي فوق المقسوم محاذية لاولى مراتب المقسوم عليه وضربناها اولا في الأربعة حصل 28 نقصناه مما يحاذي الأربعة ومما عن يسارها أعني عن 35 أما في الذهن أو بعد وضع الحاصل أعني 28 تحت 35 فبقيت سبعة وضعناها تحت الخمسة بعد أن خططمنا بينهما وبين 35 خطاً عرضياً ثم ضربنا السبعة أيضاً في السبعة التي عن يمين الأربعة حصل 49 نقصناه مما يحاذي السبعة ومما عن يسارها أعني 76 بقي 27 وضعنا السبعة في جدول الستة تحتها وللعشرين اثنين تحت السبعة بعد أن خططنا فوق 27 الخط الفاصل ثم ضربنا السبعة في الخمسة حصل 35 نقصناه مما يحاذي الخمسة ومما عن يسارها أعني 275 ووضعنا الباقي كما ذكرنا وقد حان أن ينقل المقسوم عليه إلى جانب اليمين أو الباقي من المقسوم إلى جانب اليسار ففي الصورة الأولي خططنا فوق المقسوم عليه خطاً عرضياً ونقلناه بمرتبة واحدة إلى اليمين وفي الصورة الثانية خططنا تحت ما بقي من المقسوم خطاً عرضياً ونقلناه بمرتبة إلى اليسار ثم طلبنا أكثر عدد من الآحاد بالصفة المذكورة فوجدناه خمسة وضعناها على يمين السبعة محاذية لاولى مراتب المقسوم عليه المنقول وعملنا بها كما ذكرنا ثم نقلنا المقسوم عليه إلى اليمين كما في الصورة الاولى أو الباقي من المقسوم إلى اليسار كما في الصورة الثانية مرة اخرى كما وصفنا ثم طلبنا أكثر عدد من الآحاد بالصفة المذكورة فلم نجد لان المقسوم عليه حينئذ أكثر مما يحاذيه من المقسوم فوضعنا صفراً على يمين كا وضع في سطر الخارج ونقلنا المقسوم عليه إلى اليمين بمرتبة في الصورة الاولى والمقسوم إلى اليسار في الثانية وطلبنا أكثر عدد من الآحاد بالصّفة الذكورة فوجدناه سبعة فعملنا بها كما ذكرنا فانتهى العمل وبقي من المقسوم تحت الخط الفاصل ثلاثة وثمانون وذلك على ما يجب أقل من المقسوم عليه والخارج من القسمة سبعة الآف وخمسمائة وسبعة من الصحاح وثلاثة وثمانون جزءاً من أربعمائة وخمسة وسبعين إذا فرض واحداً ولو رسم الجدول الطول

وأعلم أن ما ذكرنا كان على تقدير أن ينقص حاصل كل ضرب عن المقسوم في الذهن لكنّا أوردنا مثالاً آخر في كل واحد من الصورتين وضعنا فيه حاصل كل ضرب تحت المقسوم ليسهل فهمه على المبتدئين هكذا

ما نقص فيه حاصل الضرب عن العدد في الذهن ما وضع فيه حاصل الضرب تحت العدد ونقص منه
الصورة الأولى   الصورة الأولى
7 0 5 7 7 0 5 7
8 0 9 5 6 5 3 8 0 9 5 6 5 3
7 8 2
7 2 7
0 4 9 4
5 7 2
4 3 5 3
6 0 4
1 1 5 3 2
3 8 5
              5 2
              4 3
              8 2
              6
              9 4
              1 1
              5 3
              3 8
                           
5 7 4         5 7 4
  5 7 4       5 7 4
    5 7 4     5 7 4
      5 7 4   5 7 4
الصورة الثانية الصورة الثانية
7 0 5 7 7 0 5 7
8 0 9 5 6 5 3 8 0 9 5 6 5 3
7 8 2
7 2 7
0 4 9 4
8 0 9 0 4 2 7 2
5 5 3
4 3 0 4
8 0 4 3 8 0 9 0 4 2
8 0 4 3 5 3 2
6 5
1 1 5 2
3 8 4 3
              8 0 4 3
              8 0 4 3
              8 2
              6
              9 4
              1 1
              5 3
              3 8
5 7 4 5 7 4

ولو رسم الجداول الطولية للصورة الثانية بعدة مراتب المقسوم عليه لكفى

نوع آخر وهو أن تضرب العدد الذي طلبناه بالصفة المذكورة ووضعناه فوق الخط العرضي في المقسوم عليه بطريق ما كان أحد المضروبين مفرداً بصورته كما ذكرنا ونضع الحاصل تحت العدد المقسوم بحيث يكون أولى مراتبه محاذية لاولى مراتب المقسوم عليه وتنقصه من المقسوم ليحصل المطلوب مثاله اردنا أن نقسم 2274126 على 565 وضعناهما ورسمنا الجدول كما ذكرنا وطلبنا أكثر عدد من الآحاد بالصفة المذكورة وجدناه أربعة ضربناها في المقسوم عليه حصل 2260 وضعناه تحت المقسوم بحيث يحاذي آحاده آحاد المقسوم عليه ونقصناه من المقسوم ونضع الباقي تحته بعد أن خططنا بينهما خطاً عرضياً ثم نقلنا المقسوم عليه إلى اليمين كما في الصّورة الأولى أو نقلنا المقسوم إلى اليسار كما في الصّورة الثانية ثم طلبنا أكثر عدد من الآحاد بالصفة المذكورة فلم نجد وضعنا على يمين الأربعة صفراً ونقلنا ثايناً ثم طلبنا أكثر عدد من الآحاد بالصّفة المذكورة فوجدناه اثنين وضعناهما على يمين الصفر وضربناهما في المقسوم عليه حصل 1130 وضعناه تحت المقسوم على قياس ما مّر ونقصناه منه ونقلنا المقسوم عليه بمرتبة إلى اليسار كما في الصورة الاولى أو المقسوم إلى اليمين كما في الثانية ثم طلبنا أكثر عدد بالصّفة المذكورة فوجدناها خمسة عملنا بها كما ذكرنا وتممّنا العمل هكذا

الصورة الأولى   الصورة الثانية
5 2 0 4 5 2 0 4
6 2 1 4 7 2 2 6 2 1 4 7 2 2
0 6 2 2 0 6 2 2
4 1 4 1
0 3 1 1 6 2 1 4 1
2 8 2 6 2 1 4 1
5 2 8 2 0 3 1 1
1 2 8 2
              6 2 8 2
5 6 5         5 2 8 2
  5 6 5       1
    5 6 5                  
      5 6 5         5 6 5  

وفي هذا النوع لو نضع مفردات سطر الخارج على الحاشية أيضاً بإزاء حواصل الضرب كلا لنظيره مكان اولى نوع آخر إذا كانت مراتب المقسوم عليه كثيرة أو كان فضل مراتب المقسوم عليه على نفسه ثم على المجموع ثم على المجموع هكذا ثمانية مرات ليحصل مضروبه في الأرقام التسعة نضعها في جدول بإزاء الأرقام التسعة بحيث يكون أحدهما متحاذية وكذا سائر المراتب وهو جدول تضاعيف ذلك العدد وقد سبق ذكره في الفصل المتقدم ثم نطلب فيه أكثر عدد يمكن نقصانه عما يحاذي المقسوم عليه من المقسوم فإذا وجد نضعه تحت المقسوم وتنقصه منه ونضع الرقم الذي كان في حاشيته الجدول محاذياً له من الأرقام التسعة على سطر الخارج محاذياً لاولى مراتب المقسوم عليه والباقي على قياس ما سبق في النوع المتقدم والمثال كمثاله وأن لم نرسم الجداول الطولية في هذا النوع يحصل المطلوب أيضاً وهذان النوعان مما استنبطناه وما تركنا الأول خالياً عن تصرف ما

وأعلم أنه إذا ضرب خارج القسمة في المقسوم عليه عاد المقسوم وإذا قسم حاصل الضرب على أحد المضروبين عاد المضروب الآخر