مفتاح الحساب/المقالة الأولى/الباب الثاني

من ويكي مصدر، المكتبة الحرة
مفتاح الحساب/المقالة الأولى
الباب الثاني
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الباب الثاني
في التضعيف والتنصيف والجمع والتفريق


أمّا التضعيف وهو زيادة عدد على عدد يساويه، فالعمل فيه أن يكتب أرقام العدد الذي نريد أن نضعفه في سطر، ونبدأ من جانب اليمين ونضعف ما في كل مرتبة بصورته أي على تقدير وقوعه في مرتب الآحاد، ونضع الحاصل تحته محاذياً له وفوقه إن كان أقل من العشرة، وإلا ما زاد على العشرة ونزيد للعشرة واحداً على حاصل تضعيف ما في المرتبة التي عن يساره، بأن نحفظ للعشرة واحد في الذهن حتى إذا ضعفنا ما في يساره نزيد الواحد على الحاصل إن كان في يساره عدد، وإلا نضع الواحد في يساره، وإن كان الحاصل عشرة بلا زيادة ونقصانٍ فنضع صفراً تحت تلك المرتبة، ونحفظ للعشرة واحد في الذهن للرفع.

مثاله: أردنا أن نضعف هذا العدد

6,52,078
13,04,156

بدأنا بالثمانية وضعفناها فصارت ستة عشر، وضعّنا الستة تحت الثمانية وحفظنا للعشرة واحداً في الذهن للرفع، ثم ضعفنا السبعة فصارت أربعة عشر زدنا عليها الواحد المحفوظ في الذهن فصارت خمسة عشر، وضعّنا الخمسة تحت السبعة ووضعنا للعشرة واحداً تحت الصّفر الموضوع في يسارها، ثم ضعفنا الاثنين فصار أربعة وضعّناها تحت الاثنين، ثم ضعفنا الخمسة فصارت عشرة، وضعّنا صفراً تحت الخمسة وحفظنا للعشرة واحداً في الذهن للرفع، ثم ضعّفنا الستة فصارت اثني عشر زدنا عليه الواحد المحفوظ فصار ثلاثة عشر، وضعنا الثلاثة تحت الستة ووحداً على يساره للعشرة، فما حصل تحت صف العدد فهو المطلوب.

أمّا التنصيف وهو تحصيل نصف العدد، فالعمل فيه أن نضع أرقام العدد الذي نريد أن ننصفه في سطر، ونبدأ من الجانب الأيسر، وننصف ما في كل مرتبة بصورته، فإن كان زوجاً فيضع نصفه تحته، وإن كان فرداً فنضع الصحيح من نصفه تحته، ونحفظ لكسر النصف الذي مع الصحيح خمسة في الذهن، حتى إذا ننصّف ما في المرتبة التي تتقدمه من جانب اليمين نزيد على نصفه الخمسة المحفوظة للنصف تحته، وإن لم يتقدمه شيء فعلامة النصف تحت هذا الصّحيح على هذه الصّورة ½.

مثاله: أردنا أن ننصف هذا العدد

4,090,527
2,045,263
½

بدأنا بالأربعة ونصفناها فصارت اثنين وضعّنا تحت الأربعة، ولأن ليس للصفر نصف وضعنا تحته صفراً، ثم نصفنا التسعة فصارت أربعة ونصفاً، وضعنا الأربعة تحت التسعة ووضعنا للنصف خمسة تحت الصفر الذي يتقدم التسعة، ثم نصفنا الخمسة فصارت اثنين ونصفاً، وضعنا الاثنين تحت الخمسة وحفظنا للنصف خمسة في الذهن، ثم أخذنا نصف الاثنين وهو الواحد، وزدنا عليه الخمسة المحفوظة في الذهن حصلت ستة، وضعناها تحت الاثنين ثم نصفنا السبعة فصارت ثلاثة ونصفاً، وضعنا الثلاثة تحت السبعة ووضعنا تحت الثلاثة هذه الصورة ½ للنصف فما حصل تحت العدد فهو المطلوب.

أمّا الجمع وهو زيادة عدد على عدد آخر، فالعمل فيه أن نضعهما متحاذيين في سطرين الآحاد حَذَ الآحاد، والعشرات حَذَ العشرات، وكذلك في سائر المراتب، ثم نبدأ من الجانب الأيمن، ونزيد ما في كل مرتبة بصورته على ما يحاذيه، ونضع الحاصل تحتهما، فإن كان الحاصل عشرة أو زائد نضع صفراً أو ما زاد عليها، ونزيد للعشرة واحد على ما في يساره كما ذكرناه في التضعيف، وإن كان لأحدها مراتب لا يكون لها نظائر في الآخر نقلناها بعينها إلى سطر الحاصل، ونخط بينهما وبين الحاصل خطًا للتمييز.

مثاله: أردنا أن نزيد هذا العدد 67,024 على هذا العدد 5,294,853، وضعناهما متحاذيين، ثم نبدأ بالأربعة زدناه على الثلاثة حصلت سبعة، وضعناهما كما قلنا، وبعد الفراغ عن العمل يكون صورته هكذا

العددان اللذان نريد أن نجمعهما 67,024
5,294,853
حاصل الجمع 5,361,877

ولو أردنا أن نجمع ثلاثة أعداد أو أزيد نضعها صفاً بعد صف، بحيث يكون الآحاد كلها متحاذية، وهكذا سائر المراتب، ثم نبدأ بمرتبة الآحاد ونجمع ما فيها ونضع آحاد الحاصل تحتها، ونزيد للعشرات لكل عشرة واحداً على حاصل جمع ما في يسارها، وهكذا نعمل بسائر المراتب.

مثاله: هكذا

الأعداد التي نريد أن نجمعها 9,845
1,423
7,906
المجموع 19,174

وأمّا التفريق وهو نقصان عدد عن عدد ليس أقل منه، فالعمل فيه أن نضعهما كما ذكرنا في الجمع بعينه ونبدأ من الجانب الأيمن وننقص ما في كل مرتبة بصورته من المنقوص عما يحاذيه من المنقوص منه ونضع الباقي تحته إن بقى شيء وإن لم يبق شيء فنضع هناك صفراً وإن لم يمكن نقصان ما في مرتبة عما يحاذيه نأخذ واحداً من عشراته إي مما يليه من الأيسر فيكون بالنسبته إلى تلك المرتبة عشرة فننقصه منها ونزيد الباقي على المحاذي من المنقوص منه وإن لم يكن في عشراته عدد نأخذ من مئاته واحداً وهو عشرة بالنسبة إلى عشراته ووضعنا تسعة منها في عشراته بالكتابة أو بالذهن يبقى واحد ونعمل به ما قلناه وعلى ذلك القياس.

مثاله: أردنا أن ننقص هذا العدد 7,036 عن هذا العدد 985,792 وضعناهما كما قلنا وبعد الفراغ عن العمل يكون على هذه الصورة

العدد المنقوص 7,036
المنقوص منه 985,792
الباقي 978,756