مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب التاسع/الفصل الأول

من ويكي مصدر، المكتبة الحرة
مفتاح الحساب/المقالة الرابعة/الباب التاسع
الفصل الأول
المؤلف: غياث الدين الكاشي



الفصل الأول
في مساحة الطاق والأزج


عرفها المتقدمون بإنهما نصف اسطوانة مستديرة مجوفة ولا نشاهد مثله في العمارات القديمة والجديدة، وما شاهدناه كان أكثره محدود الوسط وقليل منه أقل من نصف الإسطوانة المستديرة المجوفة بكثير فأعلم أن الطاق على ما ينبعي وهو ما نسميه بالطاق الحقيقي هو مسقف مبني على قاعدتين هما في سطح واحد بين خطين متوازيين كأنه مؤلف من خمس قطعات اثنتان منها قطعة فلكه واحدة أو حلقة واحدة أو دفّي واحد لا يكون قطر مقعّرها أصغر من وسعة الطاق اعنى البعدين قاعدتي الطاق أحديهما في اليمين والآخر في اليسار مبنيان على القاعدتين وقطعتان آخريان هما قطعتا فلكة أو حلقة أو دفّي يكون قطر مقعرها أعظم من قطر مقعر الفلكة الأولى غلظهما مثل غلظ القطعتين الأوليتين بعينه وهما مبنيان على فوق القطعتين الأوليين متصلان على خط هو محدد الطاق ويكون محورى قطعتي الأيمن في سطح واحد وكذلك الأيسر في سطح آخر، وقطعة واحدة يحيط بها لوزتان متشابهتان متساويتان متوازيتان، وأربعة سطوح مستويات، فمجموعهما هو مجسم يحيط به سطحان مستويان متوازيان هما وجهاه وسطحان مستديران لأعلى محور واحدهما محدبة ومقعرة، ويقال للبعد بين وجهيه عرض الطاق والفرق بين الطاق والأزج أن عرض الطاق لا يكون أكثر من وسعته وللأزج يكون أكثر منها، وما يدعوه في الطاق عرضه يدعوه في الأزج طوله، وطريق رسمه على ما رأيناه خمسة.

الأول أن ندير دائرة ا ب جـ د على أن قطرها يكون بقدر وسعة الطاق ونقطة هـ مركزها ونقسمها ستة أقسام متساويات على نقط ا ب جـ د ز ح ونصل الأقطار ا د، ب ز، جـ ح، ونخرجها عن أطراف ا ب جـ د على الإستقامة إلى نقطة ي كـ ل م بقدر ثخن الطاق حسب ما نريد، ثم ندير على مركز هـ قوسي ي كـ، م ل فندير على نقطة ح ببعد ح جـ قوس جـ ط وعلى نقطة ز ببعد ز ب قوس ب ط ونصل ح ط، د ط ونخرجهما إلى س ع بقدر ثخن الطاق وندير على نقطة ح قوس ل ع وعلى نقطة ز قوس كـ س ونخرج عمود س ن على ط س وعمود ن ع فحصلت القطعات الخمس وهي قطعات ا كـ، كـ ط، ط ن، ط ل، ل د جميعها وجه الطاق، ولما جعلنا س ن، ع ن مستقيماً لا مستدير الفائدة سنذكرها وصورته هكذا.

ويجوز أن نرسم قسمي ب ط ط جـ كـ س ع ل حول نقطتين أخريين على خطي هـ ز هـ ح إمّا داخل نصف الدائرة التحتاني وإمّا خارجة وهو الأحسن، ونسمي سطح ا ب جـ د ط مجوف الطاق ويدعوه ويدعوه البناؤون باسبرة، وإذا أخرجنا من نقطة ن في الجانبين عمودي ن ف، ن ق على هـ ط ن متساويين لـ ا هـ ونصل ا ف، ا ق يقطعان محدب الطاق على نقطتي ش، ت فسطحا ش ف ن، ن ق ت هما كتفا الطاق و ا ش ي د ت م ما وقع من الطاق في الجدار، وخط ط هـ أرتفاع محدده الاسفل و هـ ن ارتفاع محدّده الأعلى وهذا الوجه يليق حيث كانت وسعت الطاق إلى خمسة أذرع وقد شاهدنا في بعض العمارات أن ب ط ط جـ كانا خطين مستقيمين وكذا كـ ن ن ل.

الوجه الثاني هو أن ندير نصف دائرة ا ب جـ د على أن خط ا د القطر وهو وسعة الطاق ومخرجه في الجهتين إلى نقطتي ي، م بقدر ثخن الطاق حسب ما نريد، ونقطة هـ مركزها، ونقسمها على أربعة أقسام متساويات على نقطة ا ب ص جـ د ونصل نصفي قطري ب هـ، جـ هـ ونخرجهما ونفرز منهما هـ ز، هـ ح بقدر ا ص وتر الربع و جـ ل ب كـ بقدر ثخن الطاق اعني د م ونريد على مركز هـ قوسي جـ ط وندير على نقطة ز ببعد ز ب قوس ز ط ونصل ح ط ر ط ونخرجهما إلى نقطتي ع س بقدر ثخن الطاق وندير على نقطة ح قوس ل ع وعلى نقطة ز قوس كـ س ونخرج عمودي س ن ع ن على خطى ط س ط ع فمجموع قطعات ا كـ، كـ ط، ط ن، ط ل، ل د وجه الطاق وتتمم سطح ا ف ق د المتوازي الأضلاع وجعلنا س ن ع ن مستقيماً لا مستديراً الغرض سيفهم، وهذا الوجه يليق حيث ما نريد وسعة الطاق بين خمسة أذرع إلى عشرة أذرع أو إلى خمسة عشر ذراعاً هكذا.

الوجه الثالث هو أن يخرج عن منتصف ا د وسعة الطاق عمود هـ ن ونفرز منه هـ ص مثل هـ ا و هـ ب بقدر ثمن ا هـ وندير على نقطة ب ببعد ب د قوس د جـ ثمن المحيط وكذا قوس م ل ونصل ب جـ ل ونخرجه من جهته ب إلى نقطة ح بقدر ا ص وندير على مركز ح ببعد ح جـ قوس جـ إلى أن انتهت إلى عمود ط على نقطة ط ونصل ح ط ونخرجه إلى ع بقدر ثخن الطاق وندير أيضاً على مركز ح ببعد قوس ل ع ونخرج من نقطة ع عمود ن ع على ط ع ونتمم سطح هـ ن ق ي المتوازي الأضلاع القائم الزوايا ليتم صورة نصف طاق، وهكذا يكون العمل في النصف الآخر وهذا الوجة يليق بالطاقات العظيمة التي يكون وسعتها أكثر من عشر باعات.

الوجه الرابع هو أن نثلث وسعة الطاق على نقطتي ب، د وندير على نقطة ب ببعد قوس ب د قوس د ط وعلى نقطة ز ببعد ا ز قوس ا ط ونصل ب ط ز ط ونخرجهما إلى نقطتي ح ي بقدر ثخن الطاق وكذا ا د في الجهتين إلى نقطتي كـ ل وندير على ي ببعد ب ل قوس ي كـ وعلى نقطة د ببعد د كـ قوس ي كـ ونخرج من نقطتي ح ي عمودي ح ن، ي ن على خطي ط ح، ط ي فمجموع قطعات ط كـ، ط ن، ط ل الثلاث وجه الطاق هكذا

الوجه الخامس هو أن نخرج من نقطتي ا د نهاية وسعة الطاق عمودي على ا جـ د ز نجعل نقطتي جـ د مركزين وندير على كل واحد منهما ببعد وتر القائمة أعني ببعد ا د قوسي ا ط د ط وكذا قوسي ب جـ، ي ح بعد أخراج خطي ا د من الجهتين ببعد واحد فيكون شكل ا ب ح ي د ط وجه الطاق هكذا

فإذا فرغنا عن تعريف الطاق والأزج فنشرع الآن في كيفية مساحة، وقد استخرجنا نسب بعض مقاديره إلى وسعته، وبعضها إلى ثخنه ووضعناها في جدول مع الشرح العمل بها، وسنورد كيفية استخراج تلك المقادير، وأيضاً حولناها إلى الرقوم الهندية ووضعناها في الجدوال أيضاً، والجدول هكذا

المقادير بالرّقوم الجُمّل
إذا ضربنا وسعت الطاق في هذا يحصل مساحة مقعر وجه الطاق إذا ضربنا ثخن الطاق في هذا ونزيد الحاصل على مقعر وجه الطاق ونضرب المجموع في ثخن الطاث يحصل مساحة وجهه نضرب وسعة الطاق في هذا يجعل ارتفاع محدده الأسفل نضرب ثخن الطاق في هذا يحصل ثخن محدده نزيده على ارتفاع محدده الأسفل يحصل ارتفاع محدده الأعلى نضرب مربع وسعة الطاق في هذا يحصل مساحة سطح مجوفه الذي يدعوه البنائون بالسيرة
أجزاء دقائق ثواني ثوالث أجزاء دقائق ثواني ثوالث أجزاء دقائق ثواني ثوالث أجزاء دقائق ثواني ثوالث أجزاء دقائق ثواني ثوالث
بالوجه الأوّل ا لز كو و ا له لز كح ؛ لد ز لح ا ا نح د د كد كح مب
بالوجه الثاني ا لط ب يط ا له نه مب ؛ له نه يو ا هـ نه يب ؛ كه ط يجـ
بالوجه الثالث ا مب مد جـ ا لو كا مز ؛ لح يز ل ا و نه لح ؛ كز يب لد
بالوجه الرابع ا مه كز نز ا لد لد مز ؛ لح مجـ مز ا هـ نه يب ؛ كح ما ما
المقادير بالرّقوم الهنديّة
ثالثها ثانيها الأعشار الصحاح ثالثها ثانيها الأعشار الصحاح ثالثها ثانيها الأعشار الصحاح ثالثها ثانيها الأعشار الصحاح ثالثها ثانيها الأعشار الصحاح
بالوجه الأوّل 4 2 6 1 4 9 5 1 9 6 5 0 3 3 0 1 8 0 4 0
بالوجه الثاني 1 5 6 1 6 9 5 1 8 9 5 0 9 9 0 1 9 1 4 0
بالوجه الثالث 2 1 7 1 6 0 6 1 8 3 4 0 5 1 1 1 1 5 4 0
بالوجه الرابع 7 5 7 1 6 7 5 1 5 4 6 0 9 9 0 1 8 7 4 0

فإذا حصل مساحة وجه المطاق من الجدوال الثاني نضربها في عرض الطاق يحصل مساحة مجسمة، وأمّا مساحة ما يدخل من الطاق في الجدار الذي بنى عليه ومساحة كثفه، فنضرب نصف قطر مقعر القطعة الأولى منه، وهو نصف وسعته في الوجهين الأولين ونصفها ونصف ثمنها في الوجه الثالث وثلثاها في الوجه الرابع في نصف قطر محدبها منحطا وهو مجموع ثخنه مع نصف قطر مقعرها ونقوس الحاصل في الجيب ونأخذ تمامها فهو قوس من محدب الطاق يدخل في الجذار من أحد جابنيه بمائة المحيط ثلاثمائة وستون ثم نضرب نسبة المحيط إلى القطر في مجموع وسعته الطاق وضعف ثخنه في الوجهين الأوليين وبزيادة ثمن الوسعة في الثالث وبزيادة ثلثها في الربع فما حصل نضربه في القوس المذكورة ونقسم الحاصل على ثلاثمائة وستين فما خرج فهو مقدار القوس المذكور بما به يكون وسعة الطاق ممسوحة نضربه في نصف قطر محدّب القطعة الأولى فما حصل نحفظه ثم يأخذ جيب تلك القوس ونضربه في نصف القطر المذكور منحطا فما حصل نضربه في نصف قطر مقعر القطعة الأولى فما حصل ننقصه من المحفوظ فما بقى هو مجموع سطح القطعتين اللتين يدخل في الجدار ننقصه عن مساحة وجه الطاق فما بقي نزيد على مساحة مجوفه وننقص المجموع عن مضروب ووسعة الطاق في ارتفاع محدده الأعلى فالباقي فهو مساحة سطح كتفه ثم نضرب سطح كل واحد مما يدخل في الجدار من الطاق وسطح كتفيه في عرض الطاق ليحصل مساحة مجسمه، والأولى في مساحة العمارات أن نمسح الجدران إلى منشأ الطاق أولاً ثم نمسح الطاق ومجوفه ثم نضرب مجموع وسعة الطاق وضعف ثخنه في ارتفاع محدده الأعلى وننقص من الحاصل مجموع مساحة وجه الطاق وسطح مجوفه فما بقى هو مساحة سطحي كتفيه مع ما وقع فوق قاعدته لئلا نحتاج إلى مساحة ما يدخل في الجدار من الطاق، وإمّا ايراد ما وعدناه في كيفية استخراج مقادير النسب الموضوعة في الجدول المتقدم فأعدنا الأشكال الثلاثة الاولى.

وفرضنا وسعة الطاق اثنين وضربناه في نسبة المحيط إلى قطر حصل و يو نط كح أخذنا
في الوجه الأول سدس الحاصل ا ب مط نه وهو مقعر أحدى القطعتين الأولين

أعنى أحدى قوسي ا ب جـ د ويكون زاوية

ح هـ ط قن جيبها ل ؛ ؛ ؛
في الوجه الثاني ثُمْنِه ؛ مو ز كو ح هـ ط قله مب كه له د
في الوجه الثالث ثُمْنِه وثُمْنِ ثُمْنِه ؛ نجـ ؛ نب ح س ط قله مب كه له د
ضربناه

في الخط

ح هـ وهو ا ؛ ؛ ؛ وقسمنا الحاصل على خط ح ط

نصف قطر القطعة الثانية وهو

ب ؛ ؛ ؛ خرج من القسمة جيب زاوية

ح ط هـ

يه ؛ ؛ قوسه وهي زاوية اللوزة يد كح لط فبقيت زاوية

ط ح جـ

يه لا كا
ح هـ ا كد نا ي ب كد نا ي كد نا ي كد كح يا كـ لا مط
ح س ا كه كا لجـ ب لب كا ي كو لد نط كو يز نه يح مب هـ
وهي مقعر أحدى القطعتين الثانيتين بمائة المحيط ثلاثمائة وستون ونصف القطر نو يز مد مط إمّا على
ب ؛ ؛ ؛ فهو تكون زدناه على قوس جـ د بلغ قوس ط جـ د وهو على أن نصف وسعة الطاق واحد وضعناه في الجدول الأول، فإذا ضربنا نصف وسعة الطاق فيه يحصل نصف مقعره، فإذا ضربنا وسعة فيه يحصل جميع مقعره ثم فرضنا ثخن الطاق واحد في المحيط و يو نط كح أخذنا سدسه ا ب مط نه وهو فضل م ل على جـ د بما به د م ثخن الطاق واحد
ب كد نا ي ثمنه ؛ مز د كو
ب لب كا ي ثمنه ؛ مز ز كو
ولما كان فضل محيط على محيط آخر على أن الفضل بين نصفي قطر وهما واحد و يو نط كح ونسبته إلى ثلاثمائة وستين كنسبة فضل ع ل على ط جـ إذا كان البعد بينهما واحداً إلى زاوية ط ح جـ وهي
في الوجه الأول يه لا كا فيكون فضل ع ل على جـ ط ؛ يز يح هـ ولما كانت زاوية اللوزة ؛ يز كح لط فيكون ضلع ع ن ؛ يه كط ل جمعناه مع قوس م ل، ل ع

صار فضل م ل ن على ط جـ د

ا له لز كح

فإذا ضربنا ثخن الطاق فيه يحصل فضل نصف محدبة

على نصف مقعرة بل نصف فضل محدبة على جميع مقعرة

وضفناه في الجدول الثاني

في الوجه الثاني كـ لا مط ؛ كا لط نز كد كح يا كب كا يح ط ا له نب مب
في الوجه الثالث يح مب هـ ؛ يط له جـ كو يز نه ؛ كط لط ط ا لو كا مز
ثم ضربنا خط ح ط في جيب زاوية ح جـ وهو ب ؛ ؛ ؛ وقسمنا الحاصل على

جيب زاوية

ح هـ ن أو ح س ن وهو

ل ؛ ؛ ؛ خرج من القسمة محيط هـ ط ا ح يه يو وهو ارتفاع محدد أسفل الطاق في الوجين الأولين ح هـ ن

وأمّا في الوجه الثالث فيحصل بعد زيادة خط هـ س على س ط نصفناه صار

؛ لد ز لح وضعناه في الجدول الثالث

ثم قسمنا الواحد على جيب تمام اللوزة فهو

نح هـ ما خرج من القسمة كان ثخن محدد الطاق ا ا نح د وهو الموضوع في الجدول الرابع
ب كد نا ي مب له كه د هـ ط ا يا ن لب ؛ له نه يو ند لو كط ا هـ نه يب
ب لب كا ي مب له كه د س ط ا ط هـ ا ؛ لح يز ل نجـ مز كجـ ا و نه لح

ثم ضربنا نصف قطر مقعر القطعة الأولى في

قوس جـ د حصل ضعف مساحة قطاع

جـ هـ د ا ب مط نه

ثم ضربنا نصف قطر القطعة الثانية

في قوس ط جـ التي هي

لد لو يو حصل ضعف مساحة قطاع ط ح جـ ا ط يب لب

ثم ضربنا العمود الخارج من نقطة في في مثلث

ح ط جـ على خط ط ن خارج المثلث وهو

ل ؛ ؛ ؛ في قاعدة

المثلث وهو

ا ح يه يو
جـ هـ د ؛ مز ز كو نا ند نجـ ب هـ يط نط ا ؛ ؛ ؛ ا يا ن لب
جـ ب د ؛ نط لح كط مط مجـ يا ب و يد نو ا ز ل ؛ ا ط هـ ا
حصل ضعف مساحة المثلث له د لح نقصناه عن ضعف مساحة قطاع

ط ح جـ بقي ضعف مساحة

ط هـ جـ له د ند زدناه على ضعف قطاع جـ هـ د حصلت مساحة سطح مجوف والطاق ا لز ند مط فإذا جعلنا مربع وسعة الطاق

واحدًا يكون تلك المساحة هذه

كد كح مب وهو العدد الموضوع

في الجدول الخامس

ا نا ن لب ط هـ جـ نجـ كط كد جـ هـ د ا م لو نجـ كه ط يجـ
ا يز مجـ ط ط س جـ مح لا مز جـ ب د ا مز كو د كز ب لد

فإذا عرفت استخراج تلك النسب في الوجوه الثلاثة فلا يخفى الوجه الرابع لسهولة إذ نصف قطر قوسى مقعره بقدر تلثى وسعته ونصف مقعره بقدر قوس يكون جيب تمامها ثُمن القطر.

وأمّا مساحة الطاق بالوجه الخامس فيكفي فيها أن نضرب مربّع وسعته في ؟ ثالثه أو في ؟ ثالث الأعشار ليحصل مساحة سطح مجوفه نضربها في عرض الطاق وننقص الحاصل مع ما تحته من التجويف عن مساحة الجدار لإن وقوعه على الإغلاق ولا يحتاج إلى مساحة مجسمه وإن ارادها واحد فعليه أن يعيد شكله ويصل جـ د ونخرجه إلى كـ وكذا جـ ط ونخرجه إلى ل ونصل ط م، جـ ي ونخرج من د عمود د ن على كـ ي ونأخذ جذر ضعف مربّع وسعة الطاق وهو جـ د ونأخذ نصف جيب ثُمن الدور وهو جيب زاوية جـ ط م وننقص قوسه عن ثُمن الدّور بقيت زاوية ط جـ م ثم نضرب جـ د في نسبة المحيط إلى القطر ونضرب الحاصل في زاوية ط جـ د ونأخذ ثلث الحاصل وهو مقدار ط د بما به ا د ممسوح ثم نزيد د كـ ثخن الطاق على جـ د ليحصل جـ كـ قطر محدّب الطاق ونضرب د كـ في نسبة المحيط إلى القطر ونضرب الحاصل في مقدار زاوية ط جـ د، ونأخذ ثلث الحاصل فهو فضل قوس كـ ل على ط د بما به ا د ممسوح نريد نصفه على ط د ليحصل نصف مجموع ط د كـ ل نضربه في د كـ يحصل مساحة قطعة حلقة ط د كـ ل ثم نقسم ا جـ بل ا د وسعة الطاق على جـ ي اعنى جـ كـ منحطا فما خرج نقوسه في الجيب ثم ننصّف مربع كـ د ثخن الطاق ونزيد جذره على وسعة الطاق ونقسم المجموع على جـ كـ فما خرج نقوسه في الجيب ونأخذ التفاضل بين القوسين فهو قوس ي كـ بما به المحيط ثلاثمائة وستين اعني زاوية ي جـ كـ فيحصل مقدارهما بما به ا د واحد بقياس ما مر ونضرب جـ د في نصفها ليحصل مساحة قطاع كـ جـ ي ثم نضرب جيب زاوية ي جـ كـ في خط جـ د منحطا يحصل عمود د ن نضربه في خط جـ ي لنحصل مثلث د جـ ي ننقصه عن قطاع كـ جـ ي وعلى ذلك القياس يحصل سطح ح ط ل ونجمعهما مع قطعة حلقة ط ل كـ د ليحصل سطح ط ح ي د نصف وجه الطاق نضرب ضعفه في عرض الطاق يحصُل مساحة مجسم الطاق ولإن محدب هذا الطاق لا يكون متناسبًا بتزايد ثخنه ما أوردناه في الجدول، ولذلك الضلعين العاليين من اللوزة في الوجوه المتقدمة خطين مستقيمين ليكون متناسبا فيها وهذا ما وعدناه،

وأمّا مساحة سطحي الداخل والخارج من الطاق اعنى المنحنين نضرب عرض الطاق في مقعّر وجهه ليحصل مساحة سطحه الباطن وفي محدبه ليحصل مساحة سطحه الظاهر، وقد أطنبنا في مقاصد هذا الفصل.