خلاصة الحساب/الباب الثامن

الباب الثامن
في استخراج المجهولات بطريق الجبر والمقابلة وفيه فضلان

الفصل الأول
في المقدّمات

يسمّى المجهول شيئاً ومضروبه في نفسه مالاً وفيه كعباً وفيه مالَ مالٍ وفيه مالَ كعبٍ وفيه كعبَ كعبٍ وهكذا إلى غير النهاية يصير مالين وكعباً ثم أحدهما كعباً ثم كلّ منهما كعباً فسابع المراتب مالُ مالِ الكعبِ وثامنها مال كعب الكعب وتاسعها كعب كعب الكعب وهكذا والكلّ متناسبة صعوداً ونزولاً فنسبة مال المال إلى الكعب كنسبة الكعب إلى المال والمال إلى الشيء والشيء إلى الواحد والواحد إلى جزء الشيء وجزء الشيء إلى جزء المال وجزء المال إلى جزء الكعب وجزء الكعب إلى جزء مال المال

وإذا أردت ضرب جنس في آخر فإن كانا في طرفِ واحدٍ فاجمع مراتبهما وحاصل الضرب سمىّ المجموع كمال الكعب في مال مال الكعب الأوّل خماسي والثاني سباعي فالحاصل كعب كعب كعب الكعب أربعاً وهو في الثانية عشر أو في طرفين فالحاصل من جنس الفضل في الطرف ذي الفضل فجزء مال المال في مال الكعب الحاصل الجذر وجزء كعب كعب الكعب في مال مال الكعب الحاصل جزء المال وإن لم يكن فضل فالحاصل من جنس الواحد وتفصيل طرق القسمة والتجذير وباقي الأعمال موكول إلى كتابنا الكبير ولمّا كانت الجبريّات التي انتهت إليها أفكار الحكماء منحصرة في السّتّ وكان بناؤها على العدد والأشياء والأموال وكان هذا الجدول متكفّلا بمعرفة جنسية حاصل ضربها وخارج قسمتها أوردناه تسهيلاً واختصاراً وهذه صورته

المضروب فيه	المضروب							المقسوم
		المال	الشيء	الواحد	جزء الشيء	جزء المال
	المال	مال المال	الكعب	المال	الشيء	الواحد	المال
	الشيء	الكعب	المال	الشيء	الواحد	جزء الشيء	الشيء
	الواحد	المال	الشيء	الواحد	جزء الشيء	جزء المال	الواحد
	جزء الشيء	الشيء	الواحد	جزء الشيء	جزء المال	جزء الكعب	جزء الشيء
	جزء المال	الواحد	جزء الشيء	جزء المال	جزء الكعب	جزء مال المال	جزء المال
		جزء المال	جزء الشيء	الواحد	الشيء	المال
	المقسوم عليه

وتضرب عدد أحد الجنسين في الآخر فالحاصل عدد حاصل الضرب من الجنس الواقع في ملتقى المضروبين

وإن كان استثناء يسمّى المستثنى منه زائداً والمستثنى ناقصاً وضرب الزائد في مثله والناقص في مثله زائد والمختلفين ناقص فأضرب الأجناس بعضها في بعض واستثن الناقص من الزائد فمضروب عشرة أعداد وشيء في عشرة أعداد إلّا شيئاً مائة إلّا مالاً ومضروب خمسة أعداد إلّا شيئاً وفي سبعة أعداد إلّا شيئاً خمسة وثلاثون عددا ومال إلّا اثني عشر شيئاً ومضروب أربعة اموال وستّة أعداد إلّا شيئين في ثلاثة أشياء إلّا خمسة أعداد اثنا عشر كعباً وثمانية وعشرون شيئاً إلّا ستّة وعشرين مالاً وثلاثين عدداً

وفى القسمة تطلب ما إذا ضربته في المقسوم عليه ساوى الحاصل المقسوم فتقسم عدد جنس المقسوم على عدد جنس المقسوم عليه وعددُ الخارج من جنس ما وقع في ملتقى المقسومين

الفصل الثاني
في الست الجبرية

استخراج المجهولات بالجبر والمقابلة يحتاج إلى نظر ثاقب وحدس صائب وإمعان فكر فيما أعطاه السائل وصرف ذهن فيما يؤدّى إلى المطلوب من الوسائل

فتفرض المجهول شيئاً وتعمل ما تضمّنه السؤال سالكاً على ذلك المنوال لينتهي إلى المعادلة والطرف ذو الاستثناء يكمل ويزاد مثل ذلك على الآخر وهو الجبر والأجناس المتجانسة المتساوية في الطرفين تسقط منهما رهو المقابلة المعادلة إمّا بين جنس وجنس وهي ثلاث مسائل تسمى المفردات أو جنس وجنسين وهي ثلاث أخر تسمى المقترنات

الأولى من المفردات عدد يعدل أشياء فاقسمه على عددها يخرج الشيء المجهول مثالها أقّر لزيد بألف ونصف ما لعمرو بألف إلّا نصف ما لزيد فافرض المجهول شيئاً فلعمرو ألف إلّا نصف شيء فلزيد ألف وخمسمائة إلّا ربع شيء يعدل شيئاً وبعد الجبر ألف وخمسمائة يعدل شئياً وربعا فلزيد ألف ومائتان ولعمرو أربعمائة

الثانية أشياء تعدل اموالاً فاقسم عدد الأشياء على عدد الأموال فالخارج الشيء المجهول مثالها اولاد انتهبوا تركة أبيهم وكانت دنانير بأن أخذ الواحد ديناراً والآخر دينارين والآخر ثلاثة وهكذا بتزايد واحد فاستردّ الحاكم ما اخذوه وقسمه بينهم بالسويّة فأصاب كلّ واحد سبعة فكم الأولاد ولدنانير فافرض الأولاد شيئاً وخذ طرفيه اعنى واحدا وشيئاً واضربه في نصف الشيء يحصل نصف مال ونصف شيء وهو عدد الدنانير اذ مضروب الواحد مع أي عدد في نصف العدد يساوي مجموع الأعداد المتوالية من الواحد إليه فاقسم عدد الدنانير على شيء هو عدد الجماعة ليخرج سبعة كما قال السائل فاضرب السبعة في الشيء وهو المقسوم عليه يحصل سبعة أشياء تعدل نصف مال ونصف شيء وبعد الجبر والمقابلة مال يعدل ثلاثة عشر شيئاً فالشيء ثلاثة عشر وهي عدد الأولاد فاضرب في سبعة

فالدنانير أحد وتسعون ولك استخراج هذه وأمثاله بالخطأين كان يفرض الأولاد خمسة فالخطأ الأوّل أربعة ناقصة ثم تسعة فالثاني اثنان كذلك فالمحفوظ الأوّل عشرة والثاني ستّة وثلاثون والفضل بينهما ستّة وعشرون وبين الخطأين اثنان وههنا طريق آخر أسهل واخصر وهو أن يضعّف خارج القسمة فالحاصل الّا واحدا عدد الأولاد

الثالثة عدد يعدل أموالا فاقسمه على عددها وجذر الخارج هو الشيء المجهول مثالها أقر لزيد بأكثر المالين اللّذين مجموعهما عشرون ومسطّحهما ستّة وتسعون فأفرض أحدهما عشرة وشيئاً والآخر عشرة إلّا شيئاً فمسطّحهما مائة إلّا مالا وهو يعدل ستّة وتسعين وبعد الجبر والمقابلة يعدل المال أربعة والشيء اثنين فأحد المالين ثمانية والآخر اثنا عشر وهو المطلوب المقرّ به

المسئلة الأولى من المقترنات عدد يعدل أشياء وأموالاً فكمّل المال واحداً إن كان اقلّ منه وردّه إليه إن كان أكثر وحوّل العدد والأشياء إلى تلك النسبة بقسمة عدل كلّ على عدد الأموال ثم ربّع نصف عدد الأشياء وزده على العدد وانقص من جذر المجموع نصف عدد الأشياء ليبقى عدد المجهول مثالها اقرّ لزيد من العشرة بما مجموع مربّعه ومضروبه في نصف باقيها اثنا عشر فافرضه شيئاً فربّعه مال ونصف القسم الآخر خمسة إلّا نصف شيء ومضروب الشيء فيه خمسة أشياء إلّا نصف مال فنصف مال وخمسة أشياء يعدل اثني عشر فمال وعشرة أشياء يعدل أربعة وعشرين نقصنا نصف عدد الأشياء من جذر مجموع مربّع نصف عدد الأشياء والعدد بقى اثنان وهو المطلوب المقرّ به

الثانية أشياء تعدل عدداً وأموالاً فبعد التكميل أو الردّ تنقص العدد من مربّع نصف عدد الأشياء وتزيد جذر الباقي على نصفها أو تنقصه منه فالحاصل وهو الشيء المجهول مثالها عدد ضرب في نصفه وزيد على الحاصل اثنا عشر حصل خمسة أمثال العدد فاضرب شيئاً في نصفه فنضف مال مع اثني عشر يعدل خمسة أشياء فمال وأربعة وعشرون يعدل عشرة أشياء فانقص الأربعة والعشرين من مربّع الخمسة يبقى واحد وجذره واحد فإن زدته على الخمسة أو نقمته منها يحصل المطلوب

الثالثة أموال تعدل عددا وأشياء فبعد التكميل أو الردّ تزيد مربّع نصف عدد الأشياء على العدد وجذر المجموع على نصف عدد الأشياء فالمجتمع الشيء المجهول مثالها أي عدد نقص من مربّعه وزيد الباقي على المربّع حصل عشرة ونقصنا من المال شيئا وكمّلنا العمل صار مالين إلّا شيئاً يعدل عشرة وبعد الجبر والردّ مال يعدل خمسة أعداد ونصف شيء فمربع نصف عدد الأشياء مضافاً إلى الخمسة خمسة ونصف ثمن وجذره اثنان وربع تزيد عليه ربعا يحصل اثنان ونصف وهو المطلوب