كتاب في الأصول الهندسية/الكتاب الرابع
- في شكلين أضلاعمها مستقيمة متى كانت زوايا احدهما في اضلاع الآخر يقال ان الواحد مرسومٌ في الآخر
- اذا مرَّت اضلاع شكلٍ في زوايا شكلٍ آخر يقال ان الواحد يحيط بالآخر
- متى كانت زوايا شكلٍ ذي اضلاع مستقيمة في محيط دائرة يقال ان الشكل مرسوم في الدائرة
- شكلٌ ذو اضلاع مستقيمة يحيط بدائرة متى كانت اضلاعهُ مماسات لمحيط الدائرة
- إذا مسَّ محيط دائرة كلَّ ضلعٍ من اضلاع شكلٍ ذي اضلاع مستقيمة يقال انها مرسومة في الشكل
- الدائرة تحيط بشكلٍ ذي اضلاع مستقيمة متى مرَّ محيطها بزوايا الشكل
- إذا انتهى طرفا خطٍ مستقيم في محيط دائرة يقال انهُ موضوع او مرسوم في الدائرة
- شكلٌ ذو زوايا كثيرة متى كان لهُ خمسة اضلاع يسمى ذا خمس زوايا ويسمى ذا ست زوايا متى كانت اضلاعهُ ستة وذا سبع زوايا متى كانت اضلاعهُ سبعة وهلمَّ جرَّا
- شكلٌ ذو زوايا كثيرة إذا كانت اضلاعهُ وزواياهُ متساوية يسمى قياسيا
يمكن ان يُرسَم في دائرة او محيطاً بها ايُّ شكلٍ ذي اضلاعٍ كثيرة قياسيٍ فُرِض
ليكن ا ب س ي ح شكلاً قياسيّاً ذا اضلاع كثيرة. ارسم دائرة محيطها مارٌّ بالنقط الثلاث ا ب س (ق ب مضافات ك 3) ومركزها النقطة و وليكن و ن عموداً من المركز على وسط ب س. ارسم ا و د و
فاذا وُضِع ذو الاضلاع الاربعة و ن س د على ذي الاضلاع الاربعة و ن ب ا يتطابقان. لأًنَّ الضلع و ن مشترك بين الشكلين والزاوية و ن س = و ن ب لأنها قائمتان. فالضلع ن س تقع على الضلع ن ب والنقطة س تقع على النقطة ب لأَنَّ ن س = ن ب. وبما ان الشكل قياسيٌّ فالزاوية ن س د = ن ب ا فالخط س د يقع على ب ا والنقطة د تقع على النقطة ا لأَنَّ س د = ب ا. فالشكلان يتطابقان والخط و د = و ا فالحيط الذي يمرُّ أيضاً في النقطة ا ب س يمرُّ أيضاً في النقطة د. وعلى هذا الأسلوب يبرهن ان المحيط المارَّ في ب س يمرُّ في ي أيضاً وفي كل زوايا الشكل المفروض فهو اذاً مرسومٌ في الدائرة
ثم إذا تم الشكل والدائرة كما تقدم نرى الاضلاع ا ب ب س س د إلى آخرهِ انها اوتار متساوية وهي على بعد واحد من المركز (ق 14 ك 3) فإذا جعلت النقطة و مركزاً والعمود و ن بعداً ورسمت دائرة في محيطها يمسُّ الضلع ب س في وسطهِ وهكذا في جميع اضلاع الشكل فتُرسم الدائرة في الشكل او الشكل حول الدائرة
فرعٌ اول. إذا فرض شكل قياسيٌّ فيمكن ان تُرسَم دائرة فيه واخرى محيطة بهِ ويكون لهما مركزٌ واحدٌ
فرعٌ ثانٍ. إذا أمكن ان تُرسَم دائرةٌ في شكلٍ مفروض واخرى محيطة بهِ فالشكل قياسيٌّ
تعليقة اولى. النقطة وهي مركز الدائرتين أي المحيطة بالشكل والمرسومة فيهِ فهي أيضاً مركز الشكل. وتسمى الزاوية ا و ب الزاوية في المركز وهي مصطنعة من نصفي قطرّين مرسومَين من طرفَي الضلع ا ب
بما أن كل الاوتار متساوية فكل الزوايا في المركز متساوية. فتُسعلَم كميَّة كل واحدة منها بقسمة أربع زوايا قائمة على عدد اضلاع الشكل
تعليقة ثانية. إذا أردنا أن نرسم شكلاً قياسيَّا مفروضاً عدد اضلاعهِ في دائرة مفروضة فلنقسم محيط الدائرة إلى اقسام متساوية تماثل عدد أضلاع الشكل (انظر الشكل في ق 15 ك 4)
علينا ان نرسم في دائرة مفروضة خطَّا مستقيماً يماثل خطَّا مستقيماً مفروضاً ليس أطول من قطر الدائرة
لتكن ا ب س الدائرة المفروضة و د الخط المستقيم المفروض ارسم ب س قطر الدائرة ا ب س ن ثم إذا مائل ب س الخط د فقد تمَّ العمل لإنهُ قد وضع في الدائرة خطٌّ مستقيم يمائل د. وإلاَّ فالخط ب س أطول من د. اقطع الجزءَ س ي حتى يمائل د (ق 3 ك 1) واجعل س مركزاً و س ي بعداً وارسم الدائرة ا ي ق وارسم الخط س ا. فبما أن س مركز الدائرة ا ي ق فالخط ا س يعدل س ي. ولكن س ي يعدل د فالخط س ا يعدل د أيضاً فقد رُسِم في الدائرة خطٌّ مستقيم يماثل الخط المستقيم المفروض د الذي ليس اطول من قطر الدائرة
علينا ان نرسم في دائرة مفروضة مثلثاً زواياهُ تماثل زوايا مثلثٍ مفروض
لتكن ا ب س الدائرة المفروضة و د ي ق المثلث المفروض. علينا ان نرسم في ا ب س مثلثاً زواياهُ تعدل زوايا المثلث د ى ق
ارسم الخط المستقيم ن ا م حتى يمس الدائرة في النقطة ا (ق 17 ك 3) وفي النقطة ا من الخط المستقيم ا م اجعل الزاوية م ا س تعدل الزاوية د ي ق (ق 23 ك 1) وفي النقطة ا من الخط المستقيم ان اجعل الزاوية ن ا ب تعدل د ق ي وارسم ب س. لأَنَّ الخط ن ا م يمسُّ الدائرة ا ب س وا س بقطعها فالزاوية م ا س تعدل ا ب س في القطعة المتبادلة (ق 32 ك 3) و م ا س تعدل د ي ق فالزاوية ا ب س تعدل د ي ق ولهذا السبب ا س ب تعدل د ق ي فالزاوية الباقية من الواحد ب ا س تعدل الباقية من الاخر ي د ق (فرع 4 ق ك 1) فزوايا المثلث ا ب س تعدل زوايا المثلث د ي ق وقد رسم في والدائرة ا ب س
علينا ان نرسم مثلثاً يحيط بدائرةٍ مفروضة وزواياهُ تعدل زوايا مثلثٍ مفروض
لتكن ا ب س الدائرة المفروضة وليكن د ي ق المثلث المفروض. علينا أن نرسم مثلثاً يحيط بالدائرة ا ب س وزواياهُ تعدل زوايا المثلث د ي ق
أَخرِج ي ق إلى الجهتين إلى غ و ح واستعلم ك مركز الدائرة ا ب س (ق 1 ك 3) ومن ك ارسم خطّاً مستقيماً كيفما شئت مثل ك ب وفي النقطة ك من الخط ب ك اجعل الزاوية ب ك ا تعدل الزاوية د ي غ (ق 23 ك 1) وأيضاً الزاوية ب ك س تعدل الزاوية د ق ح. وفي النقط الثلاث ا ب س ارسم المماسات ل ا م م ب ن ن س ل (ق 17 ك 3)
لانَّ م ل م ن ن ل مماسات في النقط ا ب س التي قد رُسِم إليها من المركز ك ا ك ب ك س فالزوايا عند هذه النقط الثلاث أنما هي قائمات (ق 18 ك 3) والشكل ا ك ب م ذو اربعة اضلاع وهو قابل الانقسام إلى مثلثين فزواياهُ الأربعة تعدل أربع زوايا قائمة. و ك ا م ك ب م قائمتان فالأخريان ا ك ب ب م ا تعدلان قائمتين والزاويتان د ي غ د ي ق تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) فالزاويتان ا م ب ا ك ب تعدلان د ي غ د ي ق. ولكن ا ك ب تعدل د ي غ فالأخرى ا م ب تعدل الاخرى د ي ق وعلى هذا الاسلوب يبرهن ان الزاوية ل ن م تعدل د ق ي فالباقية من الواحد تعدل الباقية من الآخر ا ي م ل ن تعدل ي د ق (ق 32 ك 1) فالمثلث ل م ن قد رُسِم محيطاً بالدائرة ا ب س وزواياهُ تعدل زوايا المثلث د ي ق
علينا ان نرسم دائرة في مثلثٍ مفروض
ليكن ا ب س المثلث المفروض. فعلينا ان يرسم فيه دائرة نصف الزاويتين ا ب س ا س ب (ق 9 ك 1) بالخطين المستقيمين ب د س د المتقاطعين في النقطة د. ومن د ارسم الخطوط د ي د ف غ عموديَّة على الاضلاع ا ب ب س س ا
ثم لأَنَّ الزاوية ي ب د تعدل ف ب د ومن حيث ان ا ب س تنصّفت بالخط ب د ولان القائمة ب ي د تعدل القائمة ب ف د فالمثلث ي ب د لهُ زاويتان تعدلان زاويتين من المثلث ف ب د والضلع ب د الذي يقابل زاويتين متساويتين مشتركٌ بين المثلثين. فالضلعان الآخران من الواحد يعدلان الآخرين من الآخر (ق 26 ك 1) أي د ي يعدل د ف وهكذا يبرهن أيضاً ان د ع يعدل د ف والخطوط الثلاثة د غ د ف د ي متساوية وإذا رُسِمَت دائرة من المركز د وعلى بعد د ي يمرُّ المحيط في طرفَي د ف و د غ أيضاً ويمسُّ الاضلاع ا ب ب س س ا لأَنَّ الزوايا عند هذه النقط ي ف غ هي قائمات. والخط المستقيم العمودي على طرف القطر هو مماسٌّ (فرع اول ق 16 ك 3) فالخطوط الثلاثة ا ب ب س س ا تمس الدائرة فقد رُسمِت الدائرة في المثلث ا ب س
علينا ان نرسم دائرة تحيط بمثلثٍ مفروض
ليكن ا ب س المثلث المفروض. فعلينا ان نرسم دائرة تحيط بهِ.
نصف ا ب و ا س في د و ي (ق 10 ك 1) ومن هاتين النقطتين ارسم د ق ي ق عمودين على ا ب و ا س (ق 11 ك 1) فإذا أُخرج د ق ي ق يلتقيان وإلاَّ فهما متوازيان و ا ب و ا س العموديان عليهما متوازيان أيضاً وذاك محال. فلنفرض التقاءهما في ق وارسم ق ا وان لم تكن النقطة ق في الخط ب س فارسم ب ق س ق
لانّ ا د يعدل د ب و د ق مشترك بين المثلثين وعمودٌ على ا ب فالقاعدة ا ق تعدل القاعدة ب ق (ق 4 ك 1) وهكذا يبرهن ان س ق يعدل ا ق ولذلك ب ق يعدل س ق والخطوط الثلاثة ق ا ق ب ق س متساوية وإذا جُعِلتْ النقطة ق مركزاً وواحدٌ من هذه الخطوط بعداً فمحيط الدائرة تمرُّ بطرفي الآخرين ونرسم حول المثلث
فرع. متى وقع مركز الدائرة داخل المثلث كانت كل واحدة من زواياهُ أصغر من قائمة لانّ كل واحدة منها في نقطة أكبر من نصف دائرة. ومتى كان المركز في أحد الأضلاع فالزاوية المقابلة له قائمة لأنها في نصف دائرة. ومتى وقع المركز خارج المثلث فالزاوية المقابلة له للضلع الذي كان المركز خارجهُ أكبر من قائمة لإنها في قطعة أصغر من نصف دائرة. فإذا كان المثلث المفروض حادَّ الزوايا بقع المركز داخلهُ وإذا كان ذا قائمة يقع المركز في الضلع الذي يقابل القائمة وإذا كان منفرج الزاوية يقع المركز خارج الضلع الذي يقابل المنفرجة.
تعليقة
- يتضح من هذه القضية ان الخطوط الثلاثة العمودية على اواسط اضلاع مثلث نلتقي في نقطة في واحدة هي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث
- بموجب هذه القضية تُرسم قطعةٌ من فن قطرة وترها وعلوها مفروضان ليكن ا ب وترها والعمود على وسطو علوها. ارسم ا د ب د ونصِفهما في م و ن ومن م و ن ارسم عمودين ل م ل ن التقيين في ل مركز الدائرة. فالخطوط ل ب ل د ل ا متساوية والحلول بين حجارة القنطرة هي كإنها منقطعة من انصاف اقطار الدائرة
علينا ان نرسم مربَّعاً في دائرة مفروضة
لتكن ا ب س د الدائرة المفروضة. فعلينا ان نرسم فيها مربعاً ارسم القطرين ا س ب د واجعل كل واحد منهما عموداً على الآخر. وارسم ا ب س س د د ا
النقطة ي مركز الدائرة ولذاك ب ي يعدل ي د وقد جعل ا ي عموداً على ب د والمثلثان ا ب ي ا د ي لهما الضلع المشترك ا ي فالقاعدة ا ب تعدل القاعدة ا د (ق 4 ك 1) وهكذا يبرهن ان ب س و س د يعدلان ا ب أو ا د فالشكل ا ب س د متساوي الأضلاع. وهو أيضاً قائم الزوايا. لانّ ب د قطر و ب ا د نصف دائرة فالزاوية ب ا د قائمة (ق 31 ك 3) وهكذا يبرهن أيضاً ان ا ب س ب س د س د ا قائمات فالشكل ا ب س د قائم الزوايا وقد تبرهن انهُ متساوي الأضلاع فهو مربعٌ وقد رُسِم في الدائرة ا ب س د
تعليقة. المثلث ا ي د قائم الزاوية ومتساوي الساقين فلنا (فرع 2 ق 47 ك 1) ا د: ا س: :1 أي ضلع مربع في دائرة إلى نصف القطر كجذر اثنين الماليّ إلى واحد
علينا ان نرسم مربعاً محيطاً بدائرة مفروضة
لتمكن ا ب س د الدائرة المفروضة. فعلينا ان نرسم مربَّعاً محيطاً بها ارسم القطرين ا س ب د واجعل كل واحد منها عموداً على الآخر. وفي النقط ا ب س د ارسم المماسات ر ف ر ح ح ك ك ف ( ق 17 ك 3)
لانَّ رف يمسُّ الدائرة وقد رُسِم غ ا من المركز إلى نقطة المماسة فالزاويتان عند ا قائمتان (ق 18 ك 3) وهكذا يبرهن أن الزوايا عند ب و س و د قائمات. فبما أن ا غ ب قائمة و غ ب ر كذلك فالخط ر ح يوازي ا س وهكذا يبرهن ان ا س يوازي ف ك وان ر ف و ح ك يوازيان ب د فالأشكال ر ك ر س ا ك ف ب ب ك هي متوازية الاضلاع و ر ف يعدل ح ك (ق 34 ك 1) ورح يعدل ف ك. ومن حيث ان ا س يعدل ب د ويعدل ر ح و ف ك أيضاً و ب د يعدل ف ك و ح ك فالخطان ر ح ف ك يعدلان ر ف أو ح ك فالشكل ف ر ح ك متساوي الاضلاع. وهو أيضاً قائم الزوايا. لأنَّ ر ب غ ا متوازي الاضلاع و ا غ ب قائمة تكون ا ر ب أيضاً قائمة (ق 34 ك 1) وهكذا يبرهن أن كل واحدة من الزوايا عند ح و ك و ف قائمة فالشكل ف ر ح ك قائم الزوايا وقد تبرهن أنهُ متساوي الأضلاع فهو مربع وقد رُسِم محيطاً بالدائرة ا ب س د
علينا ان نرسم دائرة في مربَّعٍ مفروض
ليكن ا ب س د المربع الفروض. فعلينا ان نرسم فيهِ ودائرة نصّف الضلع ا ب في ف والضلع ا د في ر (ق 10 ك 1) ومن ر ارسم ر ح يوازي ا ب او د س ومن ف ارسم ف ك حتى يوازي ا د أو ب س. فكل واحد من الأشكال ا ك ك ب ا ح ح د ا ي ب ي ي د متوازي الأضلاع واضلاعها المتقابلة متساوية (ق 34 ك 1) فمن حيث ان ا د يعدل ا ب و ا ر نصف ا د وا ف نصف ا ب فبالضرورة ا ر يعدل ا ف فالضلعان المقابلان لهذين متساويان اأيضاً أي ف ي يعدل ي ر وهكذا يبرهن ان ي ح و ي ك يعدلان ف ي أو ي ر فالخطوط الأربعة ي ر ي ف ي ح ي ك متساوية والدائرة المرسومة على المركز ي وعلى بعد احد هذه الخطوط تمرُّ باطراف الأُخَر. وهي نمسُّ الأضلاع الأربعة أيضاً لأنَّ الزوايا عند ر ف ح ك قائمات (ق 29 ك 1) والخط العمودي على طرف القطر إنما هو مماس (ق 16 ك 3) فكل واحد من الخطوط الأربعة ا ب ب س س د دا مماس الدائرة فقد رُسِمَت الدائرة في المربع المفروض
علينا ان نرسم دائرة تحيط بربًَعٍ مفروض
ليكن ا ب س دالمربع المفروض فعلينا ان نرسم دائرة تحيط بهِ. ارسم ا س ب د المتقاطعين في ي. فلانَّ د ا يعدل ا ب والخط ا س مشترك بين المثلثين د ا س ب س ا فالضلعان د ا ا س يعدلان ب ا ا س والقاعدة د س تعدل القاعدة ب س فالزاوية د ا س تعدل ب ا س (ق 8 ك 1) فقد تنصَّفت الزاوية د ا ب بالخط ا س وهكذا يبرهن ان الزوايا ا ب س ب س د س د ا قد تنصَّفت بالخطين المستقيمين ا س ب د. فلكون الزاوية د ا ب تعدل ا ب س و ى ا ب نصف د ا ب و ي ب ا نصف ا ب س فالزاوية ي ا ب تعدل ي ب ا والضلع ا ي يعدل الضلع ب ي (ق 6 ك 1) وهكذا يبرهن أن ي س ي د يعدلان ا ي أو ب ي فالخطوط الأربعة ي ا ي ب ي س ي د متساوية والدائرة المرسومة على المركزي د وعلى بعد احد هذه الخطوط تمرُّ باطراف لأخر وتحيط بالمربع ا ب س د
علينا أن نرسم مثلثاً متساوي الساقين وكل واحدة من الزاويتين عند القاعدة مضاعف الزاوية الثالثة
افرض خطَّا مستقيماً مثل ا ب واقسمهُ (ق 11 ك 2) في س إلى قسمين حتى ان القائم الزوايا ا ب × ب س يعدل مربع ا س واجعل ا مركزاً و ا ب بعداً وارسم الدائرة ب د ي. واجعل فيها (ق 1 ك 4) الخط المستقيم ب د حتى يعدل ا س الذي ليس اطول من قطر الدائرة ب د ي. ارسم د ا د س. وارسم الدائرة ا س د تحيط بالمثلث ا د س (ق 5 ك 4) فالمثلث ا ب د هو المطلوب أي كل واحدة من الزاويتين ا ب د ا د ب مضاعف الزاوية ب ا د
لأنَّ القائم الزوايا ا ب × ب س يعدل مربَّع ا س و ا س يعدل ب د فالقائم الزوايا ا ب × ب س يعدل مربَّع ب د. ولانهُ قد رُسِم الخطُّ المستقيم ب س ا والخط المستقيم ب د من النقطة ب خارج الدائرة ا س د الواحد قاطع الدائرة والآخر يلاقيها والقائم الزوايا ا ب × ب س مسطحُ كل القاطع في الجزء منهُ الواقع خارج الدائرة يعدل مربع ب د الذي يلاقي الدائرة ا س د فالخط ب د مماسٌّ للدائرة ا س د (ق 37 ك 3) ولأنَّ ب د مماس و د س قاطع من نقطة المماسَّة فالزاوية ب د س (ق 32 ك 3) تعدل الزاوية د ا س في القطعة المتبادلة من الدائرة. أضف الى كل واحدة منها الزاوية س د ا فكل الزاوية ب د ا تعدل الزاويتين س د ا د ا س. ولكن الزاوية الخارجة ب س د (ق 32 ك 1) تعدل الزاويتين س د ا د ا س. فالزاوية ب د ا تعدل ب س د. ولكن ب د ا تعدل س ب د لان الساق ا د يعدل الساق ا ب (ق 5 ك 1) فالزاوية س ب د ا و د ب ا تعدل ب س د فالزوايا الثلاث ب ر ا د ب ا ب س د متساوية. ولانَّ الزاوية د ب س تعدل ب س د فالضلع ب د يعدل الضلع س د (ق 6 ك 1) و ب د يعدل ا س ولذلك س د يعدل ا س أيضاً والزاوية س د ا تعدل س ا د (ق 5 ك 1) و س د ا س ا د معاً مضاعف س ا د. ولكن ب س د تعدل س د ا س ا د (ق 32 ك 1) فالزاوية ب س د مضاعف س ا د. و ب س د تعدل كل واحدةٌ من الزاويتين ب د ا د ب ا فكل واحدة من هاتين مضاعف الزوية ب ا د فقد رُسِم مثلثٌ متساوي الساقين وكل واحدة من الزاويتين عند القاعدة مضاعف الزاوية الثالثة
فرعٌ اول. الزاوية ب ا د هي خُمس قائمتين. لانَّ كل واحدة من ا ب د ا د ب مضاعف ب ا د فهما معاً تعدلان أربعة امثال ب ا د والثلاث زوايا معاً تعدل خمسة امثال ب ا د والثلاث معاً تعدل قائمتين أي خمسة امثال ب ا د تعدل قائمتين أو ب ا د تعدل خُمس فائمتين
فرعٌ ثانٍ. لان ب ا د خُمس قائمتين أو عُشر اربع قائمات فكل الزوايا في المركز ا تعدل معاً عشرة امثال ب ا د وتقبل الانقسام إلى عشرة أقسام كل واحد يعدل ب ا د وهذه الزوايا العشر في المركز تقابلها عشرة اقواس متساوية فالقوس ب د هو عُشر المحيط والخط المستقيم ب د أو ا س يعدل ضلعاً من ذي عشرة أضلاع مرسوم فى الدائرة ب د ي
علينا ان نرسم شكلاً قياسياً ذا خمسة اضلاع في دائرة مفروضة
لتكن ا ب ي د ي الدائرة المفروضة. فعلينا ان نرسم فيها شكلاً قياسياً ذا خمسة أضلاع. ارسم مثلثاً متساوي الساقين ق ر ح لهُ كل واحدة من الزاويتين عند القاعدة ا ي عند ر و ح مضاعف الزاوية عند ق (ق 10 ك 4) وفي الدائرة ا ب س د ي ارسم المثلث المتساوي الساقين ا س د زواياهُ تماثل ق ر ح (ق 2 ك 4) أي الزاوية س ا د تماثل الزاوية عند ق والزاوية ا س د تماثل الزاوية عند ر و ا د س تماثل الزاوية عند ح. فكل واحدة من الزاويتين ا س د ا د س هي مضاعف س ا د نصفهما بالخطَّين المستقين س ي د ب (ق 9 ك 1) وارسم ا ب ب س ا ي ي د فالشكل ا ب س د ي هو الشكل المطلوب ذو خمسة أضلاع قياسيٌّ
بما أن كل واحدة من الزاويتين ا س د ا د س مضاعف س ا د وقد تنصَّفتا بالخطين المستقيمين د ب س ي فالزوايا الخمس د ا س ا س ي ي س د س د ب ب د ا متساوية. والزوايا المتساوية تقابلها أقواسٌ متساوية (ق 26 ك 3) فالأقواس الخمسة ا ب ب س س د د ي ي ا متساوية. والأقواس المتساوية تقابلها خطوط متساوية (ق 39 ك 3) فالخطوط ا ب ب س د د ي ي ا متساوية والشكل ا ب س د ي ذو خمسة أضلاع متساوية. وهو أيضاً متساوي الزوايا لأنَّ القوس ا ب يعدل القوس د ي. فإذا أٌضيف إليها ب س د فالكل ا ب س د يعدل الكل ي د س ب. والزاوية ا ي د واقفة على القوس ا ب س د والزاوية ب ا ي على القوس ي د س ب. فالزاوية ب ا ي تعدل الزاوية ا ي د (ق 27 ك 3) وهكذا يبرهن أن الزوايا ا ب س ب س د س د ي تعدل ب ا ي أو ا ي د فالشكل ا ب س د ي متساوي الزوايا وقد تبرهن أنهُ متساوي الأضلاع فهو ذو خمسة أضلاع قياسي وقد رُسِم في الدائرة المفروضة
طريقة أخرى. أقسم نصف قطر الدائرة المفروضة حتى أن القائم الزوايا مسطح كل الخطّ في أحد القسمين يعدل مربع القسم الاخر (ق 11 ك 2) وارسم خطَّا يعدل أكبر القسمين على جانبي نقطة مفروضة فكل واحد منهما يقطع قوساً عشر المحيط (فرع 2 ق 10 ك 4) فالقوسان معاً. خمس المحيط ووتره ضلع شكل ذي خمسة أضلاع قياسي في الدائرة
علينا ان رسم شكلاً قياسياً ذا خمسة اضلاع محيطاً بدائرة مفروضة
لتكن ا ب س د الدائرةالمفروضة. عليناان نرسم شكلاً قياسياً ذا خمسة أضلاع يحيط بها
لتكن زوايا شكل قياسي ذي خمسة أضلاع في الدائرة في النقط ا ب س د ي فالأقواس ا ب ب س س د د ي متساوية (ق 11 ك 4) وفي النقط ا ب س د ي أرسم الخطوط ر ح ح ك ك ل ل م م ر حتى تمسَّ الدائرة (ق 17 ك 3) استعلم المركز ق وارسم ق ب ق ك ق س ق ل ق د
فبما أن الخط المستقيم ك ل يمسُّ الدائرة ا ب س د ي في النقطة س التي رُسِم إليها ق س من المركز فالخط ق س عمود على ك ل (ق 18 ك 3) والزاويتان عند س قائمتان. وهكذا يبرهن أيضاً أن الزوايا عند ب و د قائمات. ولكون ق س ك قائمة فمربَّع ق ك يعدل مجتمع مربَّعي ق س س ك (ق 47 ك 1) ولكون ق ب ك قائمة فمربع ق ك يعدل مربعي ق ب ب ك فمربعا ق س س ك يعدلان مربعي ق ب ب ك. ومربع ق س يعدل مربع ق ب فالباقي مربع س ك يعدل الباقي مربع ب ك والخط س ك يعدل الخط ب ك. بما أن ق س يعدل ق ب و ق ك مشترك بين المثلثين ق س ك ق ب ك فالضلعان ب ق ق ك يعدلان الضلعين س ق ق ك والقاعدة س ك تعدل القاعدة ب ك. فالزاوية ب ق ك تعدل الزاوية س ق ك (ق 8 ك 1) و ب ق تعدل س ك ق. فكل الزاوية ب ق س هي مضاعف ك ق س و ب ك س مضاعف ق ك س. وهكذا يبرهن أن الزواية س ق د مضاعف س ق ل و س ل د مضاعف س ل ق. ولكون القوس ب س يعدل القوس س د فالزواية ب ق س تعدل س ق د (ق 27 ك 3) و ب ق س مضاعف ك ق س و س ق د مضاعف س ق ل فالزواية ك ق س تعدل س ق ل. والقائمة ق س ك تعدل القائمة ق س ل فالمثلثان ق ك س ق ل س لهما زاويتان من الواحد تعدلان زاويتين من الآخر والضلع س ل والزاوية ق ك س تعدل ق ل س. ولكون ك س يعدل س ل فالخط ك ل مضاعف ك س. وهكذا يبرهن أن ح ك مضاعف ب ك. ولكن ب ك يعدل ك س كما قد تبرهن سابقاً فالخط ك ل يعدل ح ك (أولية 6) وهكذا يبرهن أن ر ح ر م م ل تعدل ح ك أو ك ل. فالشكل ر ح ك ل م ذو خمسة أضلاع متساوية وزواياهُ متساوية أيضاً لأنَّ الزاوية ق ك س تعدل ق ل س و ح ك س مضاعف ق ك س و ك ل م مضاعف ق ل س كما تقدم برهانهُ فالزاوية ح ك ل تعدل ك ل م. وهكذا يبرهن أن ل م ر م ر ح ك تعدل ح ك ل أو ك ل م. فالزوايا الخمس متساوية وقد تبرهن أن الشكل متساوي الأضلاع فهو ذو خمسة أضلاع قياسي محيط بالدائرة المفروضة