والمثلث ا س ے بمقتضى بند (۷۹) يفيد هذه المعادلة
ا س۲ = س ے۲ + ا ب۲ + ۲ ا ے × ے د
فإذا جمعنا هاتين المعادلتين واعتبرنا ان ا ے = ے ب كان
ا س۲ + س ب۲ = ۲ س ے۲ + ۲ ا ب۲
وهو المطلوب
وينتج من ذلك أن متوازي الأضلاع مجموع مربعات أضلاعه يساوي مجموع مربعي قطريه
(۸۱) النسب التي بين سطحي المثلثين المتشابهين كالنسب التي بين الضلعين المتناظرين
وذلك لأن المثلثين ا ب س و اَ بَ سَ من (شكل ٦۱) حيث كانا متشابهين يتحصل منهما متناسبة نظمها هكذا
ا ب : اَ بَ :: ا س : اَ سَ
وأيضاً من حيث ان المثلثين ا س د و اَ سَ دَ متساويا الزوايا يتحصل منهما متناسبة نظمها هكذا
س د : سَ دَ :: ا س : اَ سَ
فإذا ضربنا هاتين المتناسبتين على الترتيب تحصل
ا ب × س د : ا ب × سَ دَ :: ا س۲ : اَ سَ۲
لكن حيث ان ا ب × س د ضعف سطح المثلث ا س ب وان اَ بَ × سَ دَ ضعف سطح المثلث اَ سَ بَ أيضاً ينتج ان النسبة بين سطحي المثلثين المتشابهين كالنسبة بين مربعي الضلعين المتناظرين
(۸۲) النسب التي بين سطحي كثيري الأضلاع المتشابهين كالنسب التي بين مربعي ضلعين متناظرين منهما
وحيث ان كثيري الأضلاع ا ب س د ے و اَ بَ سَ دَ ےَ من
