الدائرة فبموجب بند (٧٤) يكون سطح الدائرة مساوياً محيطها مضروباً في ربع قدارها
فإذا أشرنا الحرف ب لمحيط الدائرة التي قطرها يساوي واحد أو بالحرف ر لنصف قطر دائرة اخرى وبالحرف س لمحيطها فبمقتضى بند (٢٤) يكون س = ٢ ب ر وسطح الدائرة = ۱٢ س ر فحينئذ يكون
۱٢ س ر = ب ر٢ يعني أن سطح الدائرة يساوي أيضاً حاصل مربع نصف قطرها مضروباً في النسبة
(٧٦) سطح قطع الدائرة يساوي حاصل ضرب قوسه في ربع قطره وذلك أن نسبة القطع ا س ب م من (شكل ۱۸) إلى الدائرة بتمامها كنسبة القوس ا م ب إلى المحيط بتمامه أو كنسبة القوس ا ب × ۱٢ ا س إلى محيط ا س × - ۱٢ ا س لكن سطح الدائرة = ا س × ۱٢ ا س (بمقتضى النمرة السابقة) فإذن سطح القطع ا س ب م = القوس ا ب × ۱٢ ا س وأما سطح القطعة ا م ب فيظهر أنه مساو لسطح القطع ا س ب م ناقصاً سطح المثلث ا س
(۷۷) المربع المرسوم على وتر القائمة من المثلث القاسم الزاوية يساوي مجموع المربعين المرسومين على الضلعين الآخرين
وهذه الدعوى قد برهن عليها في (بند ٥٣) ولنبرهن عليها هنا بوجه سهل فنقول
ليكن المثلث ا س ب من (شكل ٦٠) قائم الزاوية في ا وليكن مرسوماً على كل ضلع من أضلاعه مربع فإذا أنزلنا من النقطة ا على ف جـ عموداً ا ے ووصلنا المستقيمين ا ف و ب ل كان المثلثان ا س ف و ب س ل متساويين لأن في كل منهما زاوية مساوية لنظيرتها من الآخر وكائنة بين ضلعين مساويين لنظيريهما منه وذلك لأن الزاوية ل س ب =
