الطرف الآخر مساوية اَ سَ بقي سً بَ أو س ب < سَ بَ وفي الحالة الثانية أي إذا وقعت النقطة س على الضلع سَ بَ في نقطة نفرضها سً كما في (الشكل ١٠) يكون بَ سً أو مساوية ب س أصغر من بَ سَ
وفى الحالة الثالثة أي إذا وقعت النقطة سَ خارجاً في نقطة نفرضها سً يكون اَ سَ < سَ د + اَ د و سً بَ < سً د + د بَ
فإذا جمعنا هاتين المتباينتين كل طرف إلى نظيره وجدنا اَ سَ + سً بَ < سَ بَ + اَ سً
فإذا طرحنا اَ سَ من طرف ومساوية اَ سً من الطرف الآخر يبقى سً بَ أو مساوية س ب < سَ بَ وهو المطلوب
(٢٢) إذا ساوت أضلاع مثلث أضلاع مثلث آخر كل لنظيره كان المثلثان تساويين
وذلك أن ثلاثة أضلاع المثلث ا س ب مساوية لثلاثة أضلاع المثلث اَ سَ بَ كل لنظيره كما في (شكل ٨) فيجب أن تكون الزاوية ا مساوية للزاوية اَ لأن الزاوية ا لو كانت أكبر من الزاوية اَ أو أصغر منها لكان س ب أكبر من سَ بَ أو أصغر منه انظر بند (٢١) لكن هذان الضلعان متساويان فإذن تكون الزاوية ا مساوية للزاوية اَ وبمثل هذا يبرهن على أن الزاوية ب مساوية بَ و س = سَ
وينتج من هذا ان الزوايا المتساوية تكون مقابلة لأضلاع متساوية وبالعكس
- (في بيان الخطوط الأعمدة والمائلة)*
(٢٣) من اليقينيات أنه لا يمكن أن يقام من نقطة على مستقيم إلا عمود واحد على ذلك المستقيم انظر (شكل ٣)
فإذا فرضنا أن س د يصنع مع ا ب زاويتين متجاورتين متساويتين
