ي ف وإذ ذاك فالخط ب ا يقع على الخط ي د والخط ا س يقع على د ف، وإلا فلنفرض وقوعهما على ي ر، ر ف فعندها ذلك يكون على قاعدة واحدة وعلى جانبٍ واحدٍ منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان في طرف واحد من القاعدة متساويان والمنتهيان في طرفها الآخر متساويان أيضاً وذلك لا يمكن (ق ٧ ك ١)
فإذا طبق ب س على ي ف فالخطان ب ا، ا س يطبقان على ي د، د ف والزاوية ب ا س تطبق على الزاوية ي د ف وتعدلها (أولية ٨)
وذلك ما كان علينا أن نبرهنه
القضية التاسعة.ع
علينا أن ننصّف زاوية بسيطة مستقيمة مفروضة أي أن نقسمها إلى قسمين متساويين
ليكن ب ا س الزاوية المفروض أن ننصفها عيّن أيَّة نقطة شئت في الخط ا ب كالنقطة د من ا س أطول خطَّين اقطع جزاءً ا ي حتى يعدل ا د أقصرهما (ق ٣ ك ١)
ارسم الخطَّ د ي وأبنِ عليهِ مثلثاً متساوي الأضلاع د ق ي (ق ١ ك ١)
وارسم الخط ا ق فهو ينصَّف الزاوية ب ا س
لأن الخط ا د يعدل الخط ا ي والخط ا ق مشترك بين المثلثين د ا ق، ي ا ق فالضلعان د ا، ا ق يعدلان الضلعين ي ا، ا ق كل واحد يعدل نظيرهُ.
والقاعدة د ق تعدل القاعدة ق ي فالزاوية د ا ق تعدل الزاوية ي ا ق (ق ٨ ك ١)
فقد تنصف الزاوية ب ا س بالخط ا ق المستقيم.
وذلك ما كان علينا أن نعملهُ
