انطبق العمود على ضلع ا جـ وكان الواقع بين الزاوية وموقع العمود هو القاعدة نفسها وإن كانت منفرجة وقع العمود خارجاً من جهة جـ وكان الواقع أعظم من القاعدة وإن كانت حادة وقع العمود في مثلث والوقع بعض القاعدة كما رسم في الكتاب ويمكن أن يعبر عن هذا الشكل والذي قبله بعبارة واحدة وهي أن يقال كل مثلث فان الفضل بين مربع وتر زاويته التي لا يكون قائمة وبين مربعي ضلعيها يكون بضعف سطح القاعدة فيما يقع بين الزاوية وموقع العمود من خط القاعدة ثم نذكر البرهان المشترك على قياسه
(يد)
نريد أن نعمل مربعاً يساوي شكلاً مفروضاً مستقيم الأضلاع
وليكن الشكل ا فلنرسم سطحاً قائم الزوايا مساوياً له (مه ا) وهو سطح ب جـ د ه فإن كان ب ه د ه متساويين فقد عملنا (لد ا) وإلا فلنخرج ب ه إلى أن يصير ه ز مثل ه د ونرسم على ب ز نصف دائرة ب ط ز ونخرج د ه إلى ط من المحيط فـ ه ط ضلع المربع المطلوب وذلك لأن ب ز منصف على ح ومقسوم على ه بمختلفين فسطح ب ه في ه ز مع مربع ح ه يساوي مربع ح ز (ه) أعني مربع ح ط بل مربعي ح ه ه ط (مز ا) ويلقي مربع ه ح المشترك يبقى سطح ب ه في ه ز الذي هو سطح ب د أعني سطح ا مساوياً لمربع ط ه وذلك ما أردناه
أقول وفي النسخ القديمة نورد المفروض مثلثاً ولنا أن نعمل مثلثاً يساوي أي سطح مستقيم الأضلاع اتفق كسطح ا ب جـ ه مثلاً وذلك بأن نقسمه إلى مثلثات ا ب جـ ا جـ د ا د ه ونعمل أوّلاً مثلثاً يساوي مثلثي ا ب جـ ا جـ د بأن نخرج د جـ ومن ب ب ز موازياً لـ ا جـ إلى أن يلقاه على ب ونصل ا ز فليتساوى (لز ا) مثلثي ا ب جـ ا ز جـ الكائنين على قاعدة ا جـ وبين متوازيي ا جـ ب ز يكون جميع مثلث ا ز د مساوياً لمثلثي ا ب جـ ا جـ د ثم نعمل كذلك مثلثاً آخر يساوي مثلثي ا ز د ا د ه إلى أن يحصل مثلث يساوي الشكل المفروض ثم لنا أن نعمل مربعاً يساوي أي مثلث شئنا كمثلث ا ب جـ مثلاً بأن نخرج من ا عمود ا د على ب جـ فنخرجه إلى أن يصير د ه مثل نصف ب جـ ونرسم على ا ه نصف دائرة ا ز ه ملاقياً لـ جـ ب على ز فـ د ز هو ضلع المربع المطلوب لأن مربعه يساوي سطح ا د د ه أعني في نصف ب جـ المساوي للمثلث
