يساوى (ا) مجموع سطحي د في قسمي ا جـ جـ ب اللذين أحدهما هو سطح ا جـ في جـ ب والاخر هو مربع جـ ب
(د)
مربع الخط يساوى مجموع مربعي قسميه وضعف سطح أحدهما في الاخر
وليكن الخط ا ب وقد قسم على جـ كيف اتفق ونرسم عليه مربع ا ه (مو ا) ونخرج جـ ز موازياً لـ ا د (لا ا) ونصل ب د قاطعاً إياه على ح ومن ح ح ط ك موازياً لـ ا ب فزاوية جـ ح ب الخارجة تساوي زاوية ا د ب الداخلة (كط ا) وهي مساوية لزاوية ا ب د (يه ا) لتساوي ا د ا ب في مثلث ا د ب فـ جـ ح جـ ب في مثلث جـ ح ب متساويان وبوجه آخر لما كان ا ب ا د في مثلث ا د ب متساويين وزاوية ا قائمة يكون كل واحدة من زاويتي ا ب د ا د ب نصف قائمة (لب ا) وأيضاً لما كانت زاوية ب جـ ح الخارجة المساوية (كط ا) لزاوية ا الداخلة قائمة مثلها يبقى في مثلث جـ ح ب زاوية جـ ح ب أيضاً نصف قائمة فيكون جـ ح جـ ب متساويين (د ا) فسطح جـ ك المتوازي الأضلاع متساويها وهو قائم الزوايا لكون زاوية جـ ب ك منه قائمة وزاوية ب جـ ح تمامها من قائمتين ومقابلتيهما متساويتين (لد ا) لهما فهو مربع لخط جـ ب وبمثل ذلك نبين أن سطح ط ز مربع لـ ط ح أعني ا جـ وسطح ا ح هو سطح ا جـ في جـ ح المساوي لـ جـ ب وسطح ح ه مساو له (مجـ ا) فإذن مربع ا ه يساوي مربعي ط ز جـ ك الذين هما مربعا قسمي ا جـ جـ ب وسطحي ا ح ح ه الذين هما ضعف سطح ا جـ في جـ ب وذلك ما أردناه وقد بان منه أن المتوازية الأضلاع الواقعة على أقطار المربعات مربعات وأن مربعات الواقعة في المربعات بانطباق ضلعين على ضلعين إنما يقع على أقطرها
أقول وبوجه آخر لما كان سطح ا ب في ا جـ مساويا (جـ) لجميع مربع ا جـ وسطح ا جـ في جـ ب وسطح ا ب في ب جـ مساويا لجميع مربع ب جـ وسطح ا جـ في جـ ب كان جميع سطحي ا ب في ا جـ ب ج قسميه أعني (ب) مربع ا ب مساويا المربع ا جـ جـ ب وسطح ا جـ في جـ ب مرتين
(ه)
كل خط نصف وقسم بمتخلفين فمجموع سطح أحد القسمين في الاخر ومربع الفضل بين النصف والقسم تساوي مربع النصف
مثلاً ا ب نصف على جـ وقسم على د فجميع سطح ا د في د ب ومربع جـ د يساوي
