بسبعة أشكال وهي هذه الأول أقصر الخطوط الخارجة من نقطة مفروضة إلى خط غير محدود ليست هي عليه وهو المسمى ببعدها عنه هو الذي يكون عموداً عليه فليكن النقطة ا والخط ب جـ والعمود الخارج منها إليه ا ب وذلك لانا إذا اخرجنا منها إليه خطا آخر كـ ا جـ كانت زاوية ا جـ ب الحادة أصغر من زاوية ا ب جـ القائمة (يز) فيكون ا ب أقصر من ا ج (يط) وكذلك في غيره
الثاني إذا قام عمود ان متساويان على خط ووصل طرفا هما بخط كانت الزاويتان الحادثتان بينهما متساويتين مثلاً قام عمودا ا ب جـ د المتساويان على ب د ووصل ا جـ فحدثت بينهما زاويتا ب ا جـ د جـ ا أقول فهما متساويتان ونصل ا د ب جـ متقاطعين على ه فيكون في مثلثي ا ب د جـ د ب ضلعا ا ب ب د وزاوية ا ب د القائمة مساوية لضلعي جـ د د ب وزاوية جـ د ب القائمة كل لنظيره ويقتضى ذلك تساوي باقية الزوايا (د) والأضلاع النظائر ولتساوي زاويتي ا د ب ج ب د يكون ب ه د ه متساويين (و) ويبقى ا ه جـ ه متساويين فتكون زاويتا ه ا جـ ه جـ ا متساويتين (ه) وكانت زاويتا د ا ب ب جـ د متساويتين (د) فتكون جميع زاوية ب ا جـ مساوية لجميع زاويت د جـ ا
الثالث إذا قام عمودان متساويان على خط ووصل طرفاهما بخط كانت الزاويتان الحدثتان بينهما قائمتين ولنعد عمودي ا ب جـ د على خط ب د ونصل ا جـ
فأقول أن زاويتي ب ا جـ د جـ ا المتساويتين قائمتان وإلا لكانتا إما منفرجتين أو حادتين فليكنا أو لا منفرجتين ونخرج من ا عمود ا ه على خط ا ج (يا) فيقع لا محالة فما بين خطى ا ب جـ د وتكون زاوية ا ه د الخارجة من مثلث ا ب ه أعظم من زاوية ا ب ه القائمة (يو) فتكون أيضاً منفرجة ثم نخرج من نقطة ه عمود ه ز على خط ه د ويقع فيا بين خطى ا ه جـ د وتكون زاوية ه ز جـ أيضاً منفرجة ثم نخرج من ز عمود ز ح على ز ج ومن ح عمود ح ط على ح د وهكذا إلى غير نهاية فتكون الا عمودة الخارجة من نقطة ا ز ط من خط ا جـ على خط ب د اعنى اعمدة ا ب ز ه ط ح متزائدة الا طول على الولاء وأقصرها عمود ا ب لأنه يوتر زاوية ا ه ب الحادة (يز) فهو أقصر من ا ه الموتر للقائمة (يط) و ا ه الموتر لزاوية ا ز ه الحادة أقصر من ز ه الموتر للقائمة (يط) فـ ا ب أقصر من ا ه و ا ه من ز ه كذلك ز ه من ط ح وعلى هذا الترتيب ويظهر من ذلك
