(كجـ)
السطوح المتوازية الأضلاع الكائنة على قطر سطح متوازي الأضلاع مشابهة له ومتشابهة والكل على وضع واحد
مثلا كسطحي ط ه ز ح الكائنين على قطر ب د (لد ا) وذلك لأن في مثلث ب جـ د يكون لتوازي ه ك جـ د نسبة ب جـ إلى ه جـ بالتركيب (ب) أعني إلى ح ك كنسبة ب د إلى ك د وفى مثلث ب ا د نسبة ب د إلى ك د كنسبة ب ا إلى ط ا أعني إلى ك ز فأضلاع سطحي ا جـ ز ح النظائر متناسبة وزواياهما متساوية فهما متشابهان وكذلك نبين أن سطحي ا جـ ط ه متشابهان فسطحا ز ح ط ه الشبيهان بـ ا جـ متشابهان (كا) وذلك ما أردناه
(كد)
إذا فصل سطح متوازي الأضلاع من سطح يشبهه على زاوية مشتركة ووضع واحد فهو على قطره
مثلا فصل سطح ه ح من ا جـ على زاوية د المشتركة فالقطر يكون د ز ب وإلا فليكن د ط ب ونخرج ط ك موازيا لـ ا د (لا ا) و ه ز إلى ل فسطح ه ح على قطر سطح ا د فنسبة ا د إلى د ه كنسبة جـ د إلى د ك (كجـ) وكانت كنسبة جـ د إلى د ح فـ د ك د ح متساويان (ط ه) هذا خلف فإذن القطر د ز ب وذلك ما أردناه
(كه)
كل متوازيي الأضلاع تساوت زاويتان منهما فنسبة أحدهما إلى الآخر مؤلفة من نسبتي أضلاعهما
مثلاً كسطحي ا جـ جـ ز المتساوي زاوية جـ وليكن ب جـ متصلاً بـ جـ ح على الاستقامة و ه جـ بـ جـ د ونتمم سطح د ح (لا ا) وليكن نسبة ب جـ إلى جـ ح كنسبة ك إلى ل ونسبة د جـ إلى جـ ه كنسبة ل إلى م (يا) فنسبة ك إلى م كنسبة ك إلى ل مؤلفة بنسبة ل إلى م ولأن نسبة سطح ا جـ إلى سطح جـ ط كنسبة ب جـ إلى جـ ح (ا) أعني ك إلى ل ونسبة سطح جـ ط إلى سطح جـ ز كنسبة د جـ إلى جـ ه أعني ل إلى م تكون نسبة سطح ا جـ إلى سطح جـ ز بالمساواة المنتظمة كنسبة ك إلى م (كد ه) ونسبة ك إلى م مؤلفة من نسبة ك إلى ل أعني نسبة ب جـ إلى جـ ح ومن نسبة ل إلى م أعني نسبة د جـ إلى جـ ه فنسبة السطحين مؤلفة من نسبتي أضلاعهما وذلك مـا أردناه
