ا ب على د ه والزاوية على الزاوية واختلف ضلعا ا جـ د ز اختلف المثلثان والنسبة المذكورة في المقادير المتساوية ثابتة وأيضاً كون الأضلاع على تلك النسبة تقتضي تساوي ضلعي ا جـ د ز (جـ ا) المقتضي لتساوي المثلثين (د ا) وإن اختلف ضلعا ا ب د ه وليكن ا ب أطول فنفصل منه ا ح مثل د ه ونصـل ح جـ فيجب على تقدير تساوي المثلثين أن يكون ضلع د ز أطول من ا جـ لأنه إن ساواه أو كان أقصر منه كان مثلث د ه ز أصغر من مثلث ا ب جـ وليكن ا ط مثل د ز ونصل ط ح ط ب فمثلث ا ح ط يساوي مثلث د ه ز (د ا) ومثلث ا ح جـ مشترك يبقى مثلثا ح ب جـ ح ط جـ متساويين فـ ح جـ يوازي ب ط (لط ا) ونسبة ا ب إلى ا ح أعني إلى د ه كنسبة ا ط أعني د ز إلى ا جـ (يح ا) واما على تقدير تساوي النسبتين فإذا كان ا ح أعني د ه أقصر من ا ب وجب أن يكون ا جـ أقصر من د ز ونتمم الشكل ونبين من تساوي النسبتين يساوي مثلثي ح ب جـ ح ط جـ ونجعل ا ح جـ مشتركاً فيتبين تساوي المثلثين ثم انا ان قدمنا هذا الشكل على الذي قبله وقسمنا كل واحد من السطحين المتوازي الأضلاع إلى مثلثين وبينا الحكم في المثلثات بتبين في السطحين
(يو)
كل أربعة خطوط فإن كانت متناسبة كان سطح الأول في الأخير كسطح أحد الباقيين في الآخر وإن كان سطح الأول في الأخير كسطح أحد الباقيين في الاخر كانت الخطوط متناسبة
ولتكن الخطوط ا ب جـ د ه ز ونخرج من ا جـ عمودي ا ح جـ ك مثل خطي ز ه ونتمم سطحي ا ط جـ ل (لا ا) فإن كانت الخطوط متناسية كانت أضلاع السطحين مع تساوي الزوايا متكافئة نسبة ا ب إلى جـ د كنسبة جـ ك أعني ه إلى ا ح أعني ز فكان السطحان متساويين (يد) وإن كان السطحان متساويين كانت الأضلاع متكافئة (يد) فالخطوط متناسية وذلك ما أردناه
(يز)
كل ثلاثة خطوط فإن كانت متناسبة كان سطح الأول في الأخير كمربع الأوسط وإن كان سطح الأول في الأخير كمربع الأوسط فهي متناسبة
ولتكن الخطوط ا ب جـ ونرسم د مثل ب (ب ا) فيصير الخطوط أربعة فإن كانت متناسبة يكون سطح ا في جـ مثل سطح ب في د (يو) أعني ب في نفسه
