ليكن ا ب، ا س، ا د إلى أخرهِ الخطوط المرسومة من النقطة المفروضة ا إلى الخط المستقيم الغير المحدود د ي
وليكن ا ب عموداً فهو أقصر من ا س و ا س أقصر من ا د وهلم جرَّا
لأنَّ الزاوية ا ب س قائمة فالزاوية ا س ب حادَّة (ق ١٧ ك ١) ا ب س والزاوية الصغرى من كل مثلث يقابلها الضلع الاقصر (ق ١٩ ك ١) فالضلع ا ب أقصر من الضلع ا س.
ثم إذا كان ب س و ب ي متساويين يكون الخطان المائلان ا س، ا ي متساويين ايضاً.
لأنَّ الزاوية ا ب س = ا ب ي والضلع ا ب مشترك بين المثلثين ا ب س، ا ب ي فالمثلثان متساويان (ق ٤ ك ١) والضلع ا س = ا ي.
ولأنَّ الزاوية ا س ب حادَّة فالزاوية ا س د منفرجة لإنهما معاً تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١)
والزاوية ا د س حادَّة لأن ا ب د قائمة فالزاوية ا س د هي أكبر من ا د س فالضلع ا د أطول من الضلع س (ق ١٩ ك ١)
فرعٌ أول. العمود هو قياسٌ حقيقيٌ للبعد بين نقطةٍ وخطٍ لأنهُ البعد الأقرب بينهما
فرعٌ ثانٍ. كل نقطة في عمود على نقطة انتصاف خط هي على بعد واحد من طرفي الخط
فرع ثالث. من نقطة واحدة لا يمكن رسم ثلاثة خطوط متساوية إلى خط واحد وإلا لكان خطان مائلان متساويان على جانب واحد من العمود وذاك لا يمكن
قضية ب.ن
إذا عدل وتر مثلث قائم الزاوية وساق من ساقيه وتر مثلث آخر قائم الزاوية وساقاً من ساقيه فالمثلثان متساويان
لنفرض الوتر ا س = د ف والضلع ا ب = د ي فالمثلث القائم الزاوية ا ب س
