تعليقة. متى استعمل الفرع الأول في أشكال كثيرة الأضلاع لها زوايا متداخلة مثل ا ب س فيجب أن تحسب كل متداخلة أكبر من قائمتين وإذا رسم ب د، ب ي، ب ف ينقسم الشكل إلى أربع مثلثات لها ثماني قائمات أي قائمتان في عدد الأضلاع إلا اثنين
القضية الثالثة والثلاثون.ن
الخطان المستقيمان الموصلان بين أطراف خطَّين مستقيمين متوازيين متساويين هما متوازيان ومتساويان
ليكن ا ب و س د خطَّين مستقيمين متساويين متوازيين وليوصل بين أطرافهما بالخطين المستقيمين ا س، ب د فهذان الخطان أيضاً متوازيان متساويان
ارسم ب س فمن حيث أن ب س يلاقي الخطَّين المتوازيين ا ب، س د فالزاويتان المتبادلتان ا ب س، ب س د هما متساويتان (ق ٢٩ ك ١)
ومن حيث أن ا ب يعدل س د والخط ب س مشترك بين المثلثين ا ب س، ب س د فالضلعان ا ب، ب س يعدلان الضلعان ب س، س د والزاوية ا ب س تعدل ب س د فالقاعدة ا س تعدل القاعدة ب د (ق ٤ ك ١) وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزوايا من الاخر أي ا س ب تعدل س ب د.
ومن حيث أن الخط ب س يلاقي الخطين ا س، ب د ويجعل الزاويتين المتبادلتين ا س ب، س ب د متساويتين فالخطَّان ا س، ب د متوازيان (ق ٢٧ ك ١) وقد تبرهن أنهما متساويان
فرع أول. في كل شكل ذي أربعة أضلاع إذا كان ضلعان متقابلان متوازيين ومتساويين يكون الضلعان الاخران كذلك ويكون الشكل ذا أضلاع متوازية
فرع ثان. كل ذي أربعة أضلاع ضلعاهُ المتقابلان متساويان هو ذو أضلاع متوازية
