ما فُرِض أن س ب يعدل د ب فالزاوية ب د س تعدل ب س د (ق ٥ ك ١) وقد تبرهن أنها أكبر ب س د
ثم إذا وقع رأس أحد المثلثين مثل د داخل الآخر ا س ب.
فاخرج ا س إلى ي واخرج ا د إلى ق فيما أن ا س، ا د متساويان فالزاويتان ي س د، ق د س على الجانب الآخر من القاعدة س د هما متساويتان (ق ٥ ك ١)
والزاوية ي س د إنما هي أكبر من الزاوية ب س د فالزاوية ق د س أيضاً أكبر من ب س د وبالأحرى ب د س أكبر من ب س د وإذا كان ب د، ب س متساويين فالزاوية ب د س تعدل الزاوية ب س د (ق ٥ ك ١)
وقد تبرهن أن ب د س أكبر من ب س د وذاك محال.
وهكذا إذا وقع رأس أحد المثلثين بجانب الآخر فلا يمكن أن يكون على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان إلى طرف واحد من القاعدة متساوين والمنتهيان إلى طرفها الآخر متساويان أيضاً
القضية الثامنة.ن
إذا عدل ضلعا مثلثٍ ضلعي مثلثٍ آخر وكانت القاعدتان متساويتين أيضاً فالزاوية الحادثة بين ضلعي الواحد تعدل الحادثة بين ضلعي الآخر
ليكن ا ب س، د ي ف مثلثين والضلعان ا ب، ا س يعدلان د ي، د ف كل واحد يعدل نظيره.
والقاعدة ب س تعدل القاعدة ي ف فالزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف
لأنهُ إذا وضع المثلث ا ب س على المثلث د ي ف حتى تقع النقطة ب على والنقطة ي والخطّ ب س على الخطّ ي ف فالنقطة س تقع على النقطة ف لأن الخط ب س يعدل
