خلاصة الحساب/الباب السادس

من ويكي مصدر، المكتبة الحرة
اذهب إلى التنقل اذهب إلى البحث
خلاصة الحساب
الباب السادس
المؤلف: بهاء الدين محمد بن حسين العاملي



الباب السادس
في مساحة وفيه مقدّمة وثلاثة فصول



مقـدّمـة


المساحة استعلام ما في الكمّ المتصل القارّ من أمثال الواحد الخطّي أو أبعاضه أو كليهما إن كان خطّاً أو أمثال مربّعه كذلك إن كان سطحاً أو أمثال مكعّبه كذلك إن كان جسماً

فالخطّ ذو الامتداد الواحد فمنه مستقيم وهو أقصر الخطوط الواصلة بين نقطتين وهو المراد إذا أطلق واسماءه العشرة مشهورة ولا يحيط مع مثله بسطح وغير المستقيم منه فرجاري وهو معروف وغير فرجاري ولا بحث لنا عنه

والسطح ذو الامتدادين فقط ومستويه ما يقع الخطوط المخرجة عليه في أي جهة عليه فإن أحـاط به واحد فرجاري فدائرة والخطّ المنصّف لها قطر وغير المنصّف وتر لكلّ من القوسين وقاعدة لكلّ من القطعتين أو قوس من دائرة ونصفا قطريها ملتقيين عند مركزها فقطاع وهو أكبر وأصغر أو قوسان تحديبهما إلى جهة غير أعظم من نصفي دائرتين فهلالي أو أعظم فنعليّ أو مختلفاً التحديب متساويان كل أصغر من النصف فإهليلجي أو أعظم فشلجمي أو ثلاثة مستقيمة فمثلّث متساوي الأضلاع أو الساقين أو مختلفها قائم الزاوية أو منفرجها أو حادّ الزوايا أو أربعة متساوية فمربّع إن قامت وإلّا فمعيّن وغير المتساوية مع تساوى المتقابلين مستطيل إن قامت وإلّا فشبيه المعيّن وما عداها منحرفات وقد يخصّ بعضها باسم كذي الزنقة والزنقتين وقثّاء أو أكثر من أربعة أضلع فكثير الأضلاع فإن تساوت قيل مخمّس ومسدّس وهكذا وإلّا فذو خمسة أضلاع وذو ستّة أضلاع وهكذا إلى العشرة فيهما ثم ذو إحدى عشرة قاعدة واثني عشرة قاعدة وهكذا فيهما وقد يخص البعض باسم كالمدرّج والمطبّل وذي الشُرف بضمّ الشين

والجسم ذو الامتدادات الثلاثة فإن أحـاطه سطح يتساوى الخارجة من داخله إليه فَكُرَة ومنصّفها من الدوائر عظيمة وإلّا فصغيرة أو ستّة مربّعات متساوية فكعّب أو دائرتان متساويتان متوازيتان وسطح واصل بينهما بحيث لو أدير مستقيم واصل بين محيطيهما عليهما ماسّه بكلّه في كل الدورة فأسطوانة وهما قاعدتاها والواصل بين مركزيهما سهمها فإن كان عمودا على القاعدة فأسطوانة قائمة وإلّا فمائلة أو دائرة وسطح صنوبري مرتفع من محيطها متضايقاً إلى نقطة بحيث لو أدير مستقيم واصل ماسّه بكلّه في كل الدورة فمخروط قائم أو مائل وهي قاعدته والواصل بين مركزها والنقطة سهمه وإن قطع بمستو يوازيها فما يليها منه مخروط ناقص وقاعدة المخروط والأسطوانة إن كانت مضلّعة فكلّ منهما مضلّع مثلها فهذه أكثر الاصطلاحات المتداولة في هذا الفنّ


الفصل الاول
في مساحة السطوح المستقيمة الأضلاع


أمّا المثلث فقائم الزاوية منه تضرب أحد المحيطين بها في نصف الآخر ومنفرجها تضرب العمود المخرج منها على وترها في نصف الوتر أو بالعكس وحادّ الزوايا تضربه مخرجاً من أيّتها على وترها كذلك ويعرف أنّه أي الثلاثة بتربيع أطول أضلاعه فإن ساوى الحاصل مربعي الباقيين فهو قائم الزاوية أو زاد فمنفرجها أو نقص فحادّ الزوايا وقد يستخرج العمود بجعل الأطول قاعدة وضرب مجموع الأقصرين في تفاضلهما وقسمة الحاصل عليها ونقص خارج منها فنصف الباقي هو بعد موقع العمود عن طرف أقصر الأضلاع فأقم منه خطّاً إلى الزاوية فهو العمود فاضربه في نصف القاعدة يحصل المساحة ومن طرق مساحة متساوي الأضلاع ضرب مربّع ربع مربّع أحدهما في ثلاثة أبدا فجذر الحاصل جواب

وأمّا المربع فاضرب أحد أضلاع في نفسه والمستطيل في مجاوره والمعين نصف أحد قطريه في كلّ الآخر وباقي ذوات الأربعة تقسم بمثلثين فمجموع المساحتين مساحة المجموع ولبعضها طرق خاصة لا تسعها هذه الرسالة

وأمّا كثير الأضلاع فالمسدّس والمثمّن فصاعداً من زوج الأضلاع تضرب نصف قطره في نصف مجموعها فالحاصل جواب وقطره الواصل بين منتصفي متقابليه وما عداها يقسم بمثلثات ويمسح وهو يعمّ الكلّ ولبعضها طرق كذوات الأربعة


الفصل الثاني
في مساحة بقيّة السطوح


أمّا الدائرة فطبّق خيطاً على محيطها وأضرب نصف قطرها في نصف أو ألق من مربّع القطر سبعه ونصف سبعه أو اضرب مربّع القطر في أحد عشر واقسم الحاصل على أربعة عشر وإن ضربت القطر في ثلاثة وسبع حصل المحيط أو قسمت المحيط عليه خرج القطر

وأمّا قطاعاها فاضرب نصف القطر في نصف القوس وأمّا قطعتاها فحصّل مركزيهما واجعلهما قطاعين ليحصل مثلّث فأنقصه من القطاع الأصغر ليبقى مساحة الصغرى أو زده على الأعظم ليحصل مساحة الكبرى وأما الهلاليّ والنعليّ فصل طرفيهما بخطّ مستقيم وانقص مساحة الصغرى من الكبرى وأمّا الإهليلجي والشلجمي فاقسمهما قطعتين

وأمّا سطح الكرة فاضرب قطرها في محيط عظيمتها أو مربّع قطرها في أربعة وانقص من الحامل سبعه ونصف سبعه ومساحة سطح قطعتها تساوى مساحة دائرة نصف قطرها يساوى خطّاً واصلاً بين قطب القطعة ومحيط قاعدتها

وأمّا سطح الأسطوانة المستديرة القائمة فاضرب الواصل بين قاعدتيها الموازي لسهمها في محيط القاعدة

وأمّا سطح المخروط القائم فاضرب الواصل بين رأسه ومحيط قاعدته في نصف محيطها

وما لم يذكر من السطوح يستعان عليه بما ذكر


الفصل الثالث
في مساحة الأجسام


أمّا الكرة فاضرب نصف قطرها في ثلث سطحها أو ألق من مكعّب القطر سبعه ونصف سبعه من الباقي كذلك ومن الباقي كذلك وأمّا قطعتها فاضرب نصف قطر الكرة في ثلث سطح القطع

وأمّا الأسطوانة مطلقاً فاضرب ارتفاعها في مساحة قاعدتها

وأمّا المخروط التام مطلقاً فاضرب ارتفاعه في ثلث مساحة قاعدته

وأمّا المخروط النّاقص المستدير فاضرب قطر قاعدته العظمى في ارتفاعه واقسم الحاصل على التّفاوت بين قطري القاعدتين يحصل ارتفاعه لو كان تامّاً والتفاضل بين ارتفاعي التامّ والناقص ارتفاع المخروط الأصغر المتمّم له فاضرب ثلثه في مساحة القاعدة الصغرى يحصل مساحته فأسقطها من مساحة التامّ

وأمّا المضلّع فاضرب ضلعاً من قاعدته العظمى في ارتفاع واقسم الحاصل على التفاضل بين أحد أضلاعها وآخر من الصغرى ليحصل ارتفاع التامّ وكمل العمل

وبراهين جميع هذه الأعمال مفصّلة في كتابنا الكبير المسمّى ببحر الحساب وفّقنا الله تعالى لإتمامه