خلاصة الحساب/الباب الأول

الباب الأول
في حساب الصِّحَاحِ

زيادةُ عددٍ على آخر جَمْعٌ ونَقْصُهُ منه تَفْريْقٌ وتكريره مرةً تضعيف ومِراراً بعدة آحاد آخر ضَرْب وتجزئته بمتساوِيَيْنِ تنصيْف وبمتساوياته بعدة آحاد آخر قِسْمة وتحصيلُ ما تألّف من تربيعه تجذير ولنورد هذه الأعمال في فصول

الفَصَلْ الأوّل
في الجمع

ترسم العدديين متحاذيين وتبدأ من اليمين بزيادة كل مرتبة على محاذيها فإن حصل أقل من عشرة ترسم تحتها أو الزيد فالزائد أو عشرةُ فصِفراً حافظاً في هذين للعشرة واحداً لتزيده على ما في المرتبة التالية أو ترسمه بجنب سابِقِه إن خلَتْ أو ترسمه فيها وكل مرتبة لا يحاذيها عدد فانقلها بعينها إلى سطر الجمع وهذه صورته

  20372
+ 7656
————————
  28028

فإن تكثّرت سطور الأعداد فارسمها متحاذية المراتب وابدأ من اليمين حافظاً لكل عشرة واحداً كما عرفت وهذه صورته

  72373
  3318
+ 514
————————
  76205

وأعلم أنّ التضعيف في الحقيقة جَمْعُ المثلين إلاّ إنّك لا تحتاج إلى رسم المثل بل تجمع كل مرتبة إلى مثلها كأنه بحذائها وهذه صورته

  252073
  504146

ولك الابتداء في هذه الأعمال من اليسار إلاّ إنّك تحتاج إلى المَحْوِ والأِثباتِ ورسم الجداول وهو تطويل لغير طائل وهذه صورتها

جمع العددين

7	3	5	2	5
2	4	9	7	2
9	7	4	9	7
			0	8

جمع الأعداد

2	3	7	3	5
9	7	1	4
5	0	1
6	0	9	7	5
	1	0	8

التضعيف

7	6	0	5	2
4	2	0	0	4
	3	1		5

وأعلم أنّ ميزان العدد ما يبقى منه بعد اسقاط تسعةٌ تسعةٌ وامتحانُ الجمع والتضعيف بجمع مِيْزانَيِ المجموعَيّنِ وتضعيفِ ميزان المضعّف واخذِ ميزان المجتمع فإن خالف ميزان الحاصل فالعمل خطأ

الفَصَلْ الثاني
في التنصيف

تبدأ من اليسار وتضع نصف كل تحته إن كان زوجاً والصحيح من نصفه إن كان فرداً حافظاً للكسر خمسة لتزيدها على نصف ما في المرتبة السابقة إن كان فيها عدد غير الواحد وإن كان واحداً أو صفراً وضعت الخمسة تحته فإن انتهت المراتب ومعك كسر فضع له صورة النصف هكذا

   8730313
 ½ 4365156

ولك أن تبدأ من اليمين راسماً للجدول على هذه الصورة

التنصيف

4	5	6	3	1
2	2	3	1
7		8	6

والامتحان بتضعيف ميزان النصف واخذ ميزان المجتمع فإن خالف ميزان المنصّف فالعمل خطأ

الفَصَلْ الثالث
في التفريق

تضعهما كما مرّ وتبدأ من اليمين وتًنْقُصُ كلَّ صورةٍ منْ مُحاذيْهَا وتضعُ الباقي تحت الخطّ العَرَضِي فإن لم يَبْقَ شيء فصفراً وإنْ تعذّر النقصانُ منه أخذت إليه واحداً من عشراته ونقصت منه ورسمت الباقي فإن خلت عشراته أخذت من مئاته وهو عشرة

بالنسبة إلى عشراته فضع منه تسعة واعمل بالواحد ما عرفت وتمّم العمل هكذا

  270753
- 29872
————————
  240881

ولك أن تبدأ من اليسار هكذا

التفريق

3	6	2	9
4	7	2	6
9	9	0	3
	8	9	2

والامتحان بنقصان ميزان المنقوص عن ميزان المنقوص منه إن أَمْكَنَ وإلّا زيْدَ عليه تسعةَ وانَقِصَ فالباقي إن خالفَ ميزان الباقي فالعمل خطأ

الفَصَلْ الرابع
في الضرب

وهو تحصيْل عددٍ نسبةُ أحد المضروبين إليه كنسبة الواحد إلى المضروب الآخر ومن ههنا علم أن الواحد لا تأثير له في الضرب وهو ثلاثة مفرد في مفرد أو في مركب أو مركب في مركب

والأول إما آحادُ في آحاد أو آحاد أو في غيرها أو غيرها في غيرها أما الأوّل فهذا الشَّكْلُ متكفِّل به

	2
2	4	3
3	6	9	4
4	8	12	16	5
5	10	15	20	25	6
6	12	18	24	30	36	7
7	14	21	28	35	42	49	8
8	16	24	32	40	48	56	64	9
9	18	27	36	45	54	63	72	81

وأمّا الأخيران فردّ فيهما غير الآحاد إلى سميّها منها واضرب الآحاد في الآحاد وأحفظ الحاصل ثم أجمع مراتب المضروبين وابسط المجتمع من جنس مَتْلُوّ المرتبة الأخيرة ففي ضرب الثلاثين في الأربعين تبسط الاثني عشر مئات إذ المراتب أربع والثالثة مرتبة المئات وفي ضرب الأربعين في خمسمائة تبسط العشرين ألوفا إذ المراتب خمس

وأمّا الثاني والثالث فإذا حلّ المركّب إلى مفرداته رجع إلى الأول فاضرب المفردات بعضها في بعض وأجمع الحواصل وللضرب قواعد لطيفة تعين على استخراج مطالب شريفة

قاعدة فيما بين الخمسة والعشرة تبسط أحد المضروبين عشرات وتنقص من الحاصل مضروبه في فضل العشرة على المضروب الآخر مثالها ثمانية في تسعة نقصنا من التسعين مضروب التسعة في الاثنين بقي اثنان وسبعون

قاعدة أخرى تجمع المضروبين وتبسط ما فوق العشرة عشرات وتزيد على الحاصل مضروب فضل العشرة على أحدهما في فضلها على الآخر مثالها ثمانية في سبعة زدنا على الخمسين مضروب الاثنين في الثلاثة

قاعدة في ضرب الآحاد فيما بين العشرة والعشرين تجمع المضروبين وتبسط الزائد على العشرة عشرات ثم تنقص من الحاصل مضروب ما بين المفرد والعشرة في الآحاد التي مع المركب مثالها ثمانية في أربعة عشر نقصنا من المائة والعشرين مضروب الاثنين في الأربعة

قاعدة في ضرب ما بين العشرة والعشرين بعضه في بعض تزيد آحاد أحدهما على مجموع الآخر وتبسط المجتمع عشرات ثم تضيف إليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها اثنا عشر في ثلاثة عشر زدنا على المائة والخمسين ستّة

قاعدة كل عدد يضرب في خمسة أو خمسين أو خمسمائة فابسط نصفه عشرات أو مئات أو ألوفا وخذ للكسر نصف ما أخذت للصحيح مثالها ستّة عشر في خمسة فالجواب ثمانون أو سبعة عشر في خمسين فالجواب ثمانمائة وخمسون

قاعدة في ضرب ما بين العشرة والعشرين فيما بين العشرين والمائة من المركّبات تضرب آحاد أقلّهما في عدّة تكرار العشرة وتزيد الحاصل على أكثرهما وتبسط المجتمع عشرات وتزيد عليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها اثنا عشر في ستّة وعشرين زدت الأربعة على الستّة والعشرين وبسطت الثلاثين عشرات وتمّمت العمل حصل ثلاثمائة واثنا عشر

قاعدة كل عدد يضرب في خمسة عشر أو في مائة وخمسين أو في ألف وخمسمائة فزد عليه نصفه وابسط الحاصل عشرات أو مئات أو ألوفا وخذ للكسر نصف ما أخذت للصحيح مثالها أربعة وعشرون في خمسة عشر الجواب ثلاثمائة وستون أو خمسة وعشرون في مائة وخمسين الجواب ثلاثة آلاف وسبعمائة وخمسون

قاعدة في ضرب ما بين العشرين والمائة ممّا تساوت عشراته بعضه في بعض تزيد آحاد أحدهما على الآخر وتضرب المجتمع في عدّة تكرار العشرة وتبسط الحاصل عشرات وتزيد عليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها ثلاثة وعشرون في خمسة وعشرين ضربت الثمانية والعشرين في الاثنين وبسطت الستّة والخمسين عشرات وتمّمت العمل حصل خمسمائة وخمسة وسبعون

قاعدة فيما اختلفت عدّة عشراته ممّا بين العشرين والمائة تضرب عدّة عشرات الأقلّ في مجموع الأكثر وتزيد عليه مضروب آحاد الأقلّ في عدّة عشرات الأكثر وتبسط المجتمع عشرات وتضيف إليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها ثلاثة وعشرون في أربعة وثلاثين فزد على الثمانية والستين تسعة وأضف إلى السبعمائة والسبعين اثني عشر

قاعدة كل عددين متفاضلين نصف مجموعهما مفرد تجمعها وتضرب نصف المجتمع في نفسه وتسقط من الحاصل مضروب نصف التفاضل بينهما في نفسه مثالها أربعة وعشرون في ستّة وثلاثين فأسقط من التسعمائة مضروب نصف التفاضل في نفسه أعنى ستّة وثلاثين يبقى ثمانمائة وأربعة وستّون

قاعدة قد يسهل الضرب بأن تنسب أحد المضروبين إلى أوّل أعداد مرتبة فوقه وتأخذ بتلك النسبة من الآخر وتبسط المأخوذ من جنس المنسوب إليه والكسر بحسبه مثالها خمسة وعشرون في اثني عشر تنسب الأوّل الى المائة بالربع فتأخذ ربع الاثني عشر وتبسط مئات أو في ثلاثة عشر فربعها ثلاثة وربع فالجواب ثلاثمائة وخمسة وعشرون

قاعدة قد يسهل الضرب بأن تضعّف أحد المضروبين مرّة فصاعداً وتنصّف الآخر بعدة ذلك وتضرب ما صار إليه أحدهما فيما صار إليه الآخر مثالها خمسة وعشرون في ستّة عشر فلو ضعّفت الأول مرّتين ونصّفت الثاني كذلك لرجع إلى ضرب أربعة في مائة وهو أظهر

تبصرة فإن تكثرت المراتب وتصعّب العمل فاستعن بالقلم فإن كان ضرب مفرد في مركّب فارسمها ثم اضرب المفرد بصورته في المرتبة الأولى وارسم آحاد الحاصل تحتها واحفظ لعشراته آحادا بعدّتها لتزيدها على حامل ضرب ما بعدها إن كان عدداً وإن كان صفراً رسمت عدّة العشرات تحته وإن لم يحصل آحاد فضع صفراً حافظاً لكل عشرة واحداً لتفعل به ما عرفت ومتى ضربت في صفر فارسم صفراً وإن كان مع المفرد أصفار فارسمها عن يمين سطر الخارج مثاله خمسة في هذا العدد 62043 وصورة العمل هكذا

  5
× 62043
————————
  310215

فلو كانت خمسمائة لزدت قبل سطر الحاصل صفرين هكذا 31021500

وإن كان ضرب مركّب في مركّب فالطرق فيه كثيرة كالشبكة وضرب التوشيح والمحاذاة وغيرها والأشهر الشبكة ترسم شكلاً ذا أربعة أضلاع وتقسمه إلى مربّعات وكلا منها إلى مثلّثين فوقاني وتحتاني بخطوط مؤرّبة كما سترى وتضع أحد المضروبين فوقه كل مرتبة على مربع والآخر عن يساره الآحاد تحت العشرات وهي المئات وهذا ثم اضرب صور المفردات كلّا في كل وضع الحاصل في مربّع محاذيهما آحاده في المثلث التحتاني وعشراته في الفوقاني واترك المربّعات المحاذية للصفر خالية فإذا تم الحشو فضع ما في المثلث التحتاني الأيمن بعينه تحت الشكل فإن خلا فصفراً وهو أول مراتب الحاصل ثم أجمع ما بين كل خطين مؤرّبين وضع الحاصل عن يسار ما وضعت أوّلاً فإن خلا فصفراً كما في الجمع مثاله هذا العدد 62374 في هذا العدد 207 وهذه صورة العمل

4	7	3	2	6
8	1 4	6	4	1 2	2
					0
2 8	4 9	2 1	1 4	4 2	7
8	1	4	1	1	9	2	1

والامتحان بضرب ميزان المضروب في ميزان المضروب في فميزان الحاصل إن خالف ميزان الخارج فالعمل خطأ

الفَصَلْ الخامس
في القسمة

القسمة

0	1	4	8	1
1	4	7	5	7	9
				3	5
				4	4
				0	4
				4
			4	2
			1	2
			0	2
			1
		2	1
		5
	3	5
	1
3	5
	3	5
		3	5
			3	5
				3	5

هي طلب عدد نسبته إلى الواحد كنسبة المقسوم إلى المقسوم عليه فهي عكس الضرب والعمل فيها أن تطلب عدداً إذا ضربته في المقسوم عليه ساوى الحاصل المقسوم أو نقص عنه بأقلّ في المقسوم عليه فإن ساواه فالمفروض خارج القسمة وإن نقص عنه كذلك فأنسب ذلك الأقلّ إلى المقسوم عليه فحاصل النسبة مع ذلك العدد هو الخارج

فإن تكثّرت الأعداد فارسم جدولاً سطوره بعدّة مراتب المقسوم وضعها خلالها والمقسوم عليه تحته بحيث يحاذي آخرُه آخرَه إن لم يزد المقسوم عليه من محاذيه من المقسوم إذا حاذاه وإلّا فبحيث يحاذي متلوّ آخر المقسوم ثم تطلب أكثر عدد من الآحاد يمكن ضربه في واحد واحد من مراتب المقسوم عليه ونقصان الحاصل ممّا يحاذيه من المقسوم وممّا على يساره إن كان شيء واضعاً الباقي تحت خطّ فاصل فإذا وجدت وضعته فوق الجدول محاذياً لأولى مراتب المقسوم عليه وعملت به ما عرفت ثم تنقل المقسوم عليه إلى اليمين بمرتبة أو ما بقى من المقسوم إلى اليسار بعد خطّ عرضي ثم تطلب أعظم عدد آخر كما مرّ وضعه من يمين الأول واعمل به ما عرفت فإن لم يوجد فضع صفراً وانقل كما مرّ وهكذا ليصير أوّل المقسوم محاذياً لأوّل المقسوم عليه فيكون الموضوع أعلى للجدول خارج القسمة فإن بقى من المقسوم شيء فهو كسر مخرجه المقسوم عليه مثال هذا العدد 975741 على هذا العدد 53 فخارج القسمة 18410 من الصحاح وأحد عشر جزءاً من ثلاثة وخمسين إذا فرض واحداً وهذه صورته

والامتحان بضرب ميزان خارج في ميزان المقسوم عليه وزيادة ميزان الباقي إن كان على الحاصل فميزان المجتمع إن خالف ميزان المقسوم فالعمل خطأ

الفَصَلْ السادس
في استخراج الجذر

استخراج الجذر

̣8		̣5		̣3
2	7	1	8	2	1
				9
				3
			0	3
			8
		5	2
		6	5
4	6	6	5
8
7	1	7
8	0	7
		5	6
				3

المضروب في نفسه يسمّى جذراً في المحاسبات وضلعاً في المساحة وشيئاً في الجبر والمقابلة ويسمّي الحاصل مجذوراً ومربّعاً ومالاً

والعدد إن كان قليلاً فاستخراج جذره لا يحتاج إلى تأمّل إن كان منطقاً وإن كان أصّم فأسقط منه أقرب المجذورات إليه وانسب الباقي إلى مضعّف جذر المسقط مع واحد فجذر المسقط مع حاصل النسبة هو جذر الأصمّ بالتقريب

وإن كان كثيراً فضعه خلال جدول كالمقسوم وأعلم مراتبه بتخطي مرتبة مرتبة ثم أطلب أكثر عدد من الآحاد إذا ضرب في نفسه ونقص الحاصل ممّا يحاذي العلامة الأخيرة وممّا عن يساره أفناه أو بقى أقل من المنقوص منه فإذا وجدته وضعته فوقها وتحتها بمسافة وضربت الفوقاني في التحتاني ووضعت الحاصل تحت العدد المطلوب جذره بحيث يحاذي آحاده المضروب فيه ونقصته ممّا يحاذيه وممّا عن يساره ووضعت الباقي تحته بعد الفاصلة ثم تزيد الفوقاني على التحتاني وتنقل الجميع إلى اليمين بمرتبة ثم تطلب أعظم عدد كذلك إذا وضعته فوق العلامة التي قبل العلامة الأخيرة وتحتها أمكن ضربه في مرتبة مرتبة من التحتاني ونقصان الحاصل ممّا يحاذيه وممّا عن يساره فإذا وجد العدد عملت به ما عرفت وزدت الفوقاني على التحتاني ونقلت ما في السطر التحتاني إلى اليمين بمرتبة وإن لم يوجد فضع فوق العلامة وتحتها صفراً وانقل وهكذا إلى أن يتّمّ العمل فما فوق الجدول هو الجذر فإن لم يبق شيء تحت الخطوط الفواصل فالعدد منطق وإن بقى فأصمّ وتلك البقية كسر مخرجها ما يحصل من زيادة ما فوق العلامة الأولى مع واحد على التحتاني مثاله أردنا جذر هذا العدد 128172 وعملنا ما قلنا صار هكذا

وبقى تحت الخطوط الفواصل ثمانية فهي كسر مخرجها الحاصل من زيادة ما فوق العلامة الأولى وواحد على التحتاني أعني 717

والامتحان بضرب ميزان الخارج في نفسه وزيادة ميزان الباقي إن كان على الحاصل فميزان المجتمع إن خالف ميزان العدد فالعمل خطأ