النقطة ا ارسم ا ي حتى يوازي ب س (ق ٣١ ك ١)
وارسم ي س فالمثلث ا ب س يعدل المثلث ي ب س (ق ٣٧ ك ١)
لأنهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ب س، ا ي والمثلث ا ب س يعدل د ب س فالمثلث ي ب س يعدل د ب س
أي الأصغر يعدل الأكبر وذاك محال فلا يمكن أن يكون ب س و ا ي متوازيين وهكذا يبرهن في كل خط إلا الخط ا د فهو يوازي ب س
القضية الأربعون.ن
مثلثات متساوية على قواعد متساوية وعلى جانب واحد منها هي بين خطًّين متوازيين إذا كانت القواعد على استقامة واحدة
ليكن ا ب س، د ي ف مثلثين متساويين على قاعدتين متساويتين وعلى استقامة واحدة ب س ي ف وعلى جانب واحد منها فهما بين خطَّين متوازيين
ارسم ا د فهو يوازي ب ف وإلا فارسم ا غ حتى يوازي ب ف (ق ٣١ ك ١)
وارسم غ ف فالمثلث ا ب س يعدل المثلث غ ي ف (ق ٣٨ ك ١)
لأنهما على قاعدتين متساويتين ب س ي ف وبين خطَّين متوازيين ب ف، ا غ
ولكن المثلث ا ب س يعدل المثلث د ي ف فلذلك المثلث د ي ف يعدل المثلث غ ي ف أي الأكبر يعدل الأصغر وذاك محال فالخط ا غ لا يوازي ب ف
وهكذا يبرهن في كل خط ما عدا ا د فهو يوازي ب ف
القضية الحادية والأربعون.ن
إذا كان شكل ذو اضلاع متوازية ومثلث على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين فالشكل مضاعف المثلث
ليكن الشكل ذو الأضلاع المتوازية ا ب س د والمثلث ي ب س على قاعدة
