يوازي س د فقد رُسِم خطان مستقيمان مارَّان بنقطة واحدة غ يوازيان س د من غير أن يتطابقا وذلك محال (أولية ۱۱) فلا تكون الزاويتان ا غ ح، غ ح د غير متساويتين أي هما متساويتان.
والزاوية ي غ ب تعدل ا غ ح (ق ۱٥ ك ۱) ولذلك ي غ ب أيضاً تعدل غ ح د (أولية أولى)
أضف إليها ب غ ح فالزاويتان ي غ ب، ب غ ح تعدلان ب غ ح، غ ح د ولكن ي غ ب، ب غ ح تعدلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱) ولذلك ب غ ح، غ ح د تعدلان قائمتين أيضاً
فرع أول. إذا جعل الخطان ك ل، س د مع ي ق الزاويتين ك غ ح، غ ح س معاً أصغر من قائمتين فالخطان ك غ، س ح يلتقيان على ذلك الجانب ي ق الذي فيه كانت الزاويتان أصغر من قائمتين
وإلا فهما متوازيان. أو يلتقيان على الجانب الآخر من الخط ي ق ولكنهما غير متوازيين. وإلا لكانت ك غ ح، غ ح س معاً تعدلان قائمتين ولا يلتقيان على الجانب الآخر من الخط ي ق وإلا لكانت ل غ ح، غ ح د زاويتين من زوايا مثلث وأصغر من قائمتين وذلك لا يمكن لأن الأربع زوايا ك غ ح، ح غ ل، س ح غ، غ ح د تعدل أربع زوايا قائمة (ق ۱۳ ك ۱)
واثنتان منها أي ك غ ح، غ ح س هما بالمفروض أصغر من قائمتين فبالضرورة الآخريان ل غ ح، غ ح د أكبر من قائمتين فمن حيث أن ك ل، س د غير متوازيين ولا يلتقيان من جهة ل و د فالضرورة يلتقيان إذا أخرجا إلى جهة ك و س
فرعٌ ثان. إذا كان ب غ ح قائمة تكون غ ح د أيضاً قائمة فالخط العمودي على أحد خطيَّن متوازيين هو عموديٌّ على الآخر أيضاً
فرعٌ ثالث. من حيث أن ا غ ي = ب غ ح و د ح ق = س ح غ تكون الأربع الزوايا الحادَّة ا غ ي، ب غ ح، س ح غ، د ح ق متساوية. وهكذا الأربع الزوايا المنفرجة ي غ ب، ا غ ح، غ ح د، س ح ق هي أيضاً متساوية. وإذا اضيفت إحدى الحادَّات إلى إحدى المنفرجات فالمجموع يعدل قائمتين.
تعليقة. الزاويا المذكورة لها أسماء مختلفة باعتبار نسبة بعضها إلى بعض فالزاويتان ب غ ح، غ ح د هما الداخلتان على جانب واحد وكذلك ا غ ح، غ ح س. والزاويتان ا غ ح، غ ح د هما الداخلتان المتبادلتان أو المتبادلتان فقط. وكذلك ب غ ح، غ ح س. والزاويتان ي غ ب، غ ح د هما الخارجة والداخلة وكذلك ي غ ا، غ ح س
