القضية الثانية والثلاثون.ن
إذا اخرج ضلعٌ من أضلاع مثلثٍ فالزاوية الخارجة تعدل الداخلتين المتقابلتين. والزوايا الثلاث الداخلة من كل مثلث تعدل قائمتين
ليكن ا ب س مثلثاً وليخرج منه الضلع ب س إلى د فالزاوية الخارجة ا س د تعدل الداخلتين المتقابلتين س ا ب، ا ب س والزاويا الثلاث الداخلة ا ب س، ب س ا، س ا ب معاً تعدل قائمتين
من النقطة س ارسم الخط المستقيم س ي حتى يوازي ا ب (ق ٣١ ك ١) فمن حيث أن الخط ا س يلاقي الخطين المتوازيين ا ب، س ي فالزاويتان المتبادلتان ا س ي، ب ا س متساويتان (ق ٢٩ ك ١) ومن حيث أن ب د يلاقي المتوازيين ا ب، س ي فالزاوية الخارجة ي س د تعدل الداخلة المتقابلة ا ب س وقد تبرهن أن ا س ي تعدل ب ا س فكل الخارجة ا س د تعدل الداخلتين المتقابلتين ب ا س، ا ب س.
اضف إلى هذه الزوايا الزاوية ا س ب فالزاويتان ا س د، ا س ب تعدلان الثلاث زوايا ا ب س، ب ا س، ا س ب ولكن ا س د، ا س ب معاً تعدلان قائمتين (ق ١٣ ك ١) فالزوايا الثلاث ا ب س، ب ا س، ا س ب أيضاً تعدل قائمتين.
فرعٌ أول. جميع الزوايا الداخلة في كل شكل ذي أضلاع مستقيمة تعدل من الزوايا القائمة ما يماثل مضاعف عدد أضلاع الشكل إلا أربع زوايا قائمة
لأن كل شكل ذي أضلاع مستقيمة مثل ا ب س د ي ينقسم إلى مثلثات تماثل أضلاعه برسم خط مستقيم من كل زاوية إلى نقطة داخلهُ مثل ق فحسب هذه القضية زوايا كل مثلث تعدل قائمتين فجميع زوايا جميع المثلثات يعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل ولكن الزوايا عند ق تعدل زوايا قائمة (ق ١٥ ك ١ فرع ٢) فزوايا الشكل تعدل قائمتين في عدد
