جانبيهِ واحدثا زاويتين متواليتين تعدلان قائمتين فالخطَّان على استقامة واحدة كأنَّها خطٌّ واحدٌ
ليقع خطَّان س ب، د ب على النقطة ب من الخط ا ب من جانبيه وليحدثا زاويتين متواليتين تعادلان قائمتين ا ب س، ا ب د فالخطان س ب، ب د على استقامة واحدة كإنهما خط واحد
وإلا فارسم ب ي حتى يكون س ب، ب ي على استقامة واحدة فالخط المستقيم ا ب الواقع على خط اخر مستقيم س ي على جانب واحد منه يحدث زاويتين ا ب س، ا ب ي تعادلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱)
ولكن قد فُرِض أن ا ب س، ا ب د تعادلان قائمتين فالزاويتان ا ب س، ا ب ي تعدلان ا ب س، ا ب د أطرح الزاوية المشتركة ا ب س فالباقية ا ب ي تعدل الباقية ا ب د (أولية ۳)
أي الجزء يعدل الكل وذاك محال فلا يمكن أن يكون س ب، ب ي على استقامة واحدة.
وهكذا في كل خط غير ب د فالخطان س ب، ب د المحدثان مع ا ب زاويتين تعدلان قائمتين هما على استقامة واحدة
وذلك ما كان علينا أن نبرهنه
القضية الخامسة عشرة.ن
إذا تقاطع خطَّان مستقيمان فالزوايا المتقابلة متساوية
ليكن ا ب خطَّا مستقيماً فالزاوية س ي ا تعدل ا ي د
لأنّ الزاويتين س ي ا، ا ي د الحادثتين من وقوع على س د تعدلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱) و ا ي د، د ي ب الحادثتان من وقوع د ي على ا ب أيضاً تعدلان قائمتين (ق ۱۳ ك ۱)
فالزاويتان